Гидростатическое давление и его свойства
ГИДРОСТАТИКА
- Гидростатическое давление и его свойства
- Уравнения гидростатики
- Некоторые понятия в гидростатике
- Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности
- Плавание тел
ГИДРОСТАТИКА
Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы жидкости в состоянии равновесия и распределение давления покоящейся жидкости на различные поверхности.
Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. 2.1 представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот объем плоскостью ВС на две части — I и II. В плоскости ВС выделим площадь ω с центром в точке А. Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС с силой Р.
Гидростатическим давлением Р называется сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой
 | (2.1) |
рис. 2.1
Гидростатическое давление имеет размерность в системе СИ Паскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами.
Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.
Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением
| Px=Py=Pz=Pn | (2.2) |
Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом:
| P=f (x, y, z) | (2.3) |
При изучении законов покоящейся жидкости рассмотрим три уравнения: а) основные дифференциальные уравнения равновесия; б) уравнения гидростатического давления; в) уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под воздействием сил тяжести.
а. Основные дифференциальные уравнения равновесия Л. Эйлера выведены в Российской Академии наук в 1755 г. Уравнения выражают связь между массовыми (объемными) силами, давлением и координатами любой точки жидкости в состоянии равновесия.
Не приводя вывода уравнений, поясним ход рассуждений.
В покоящейся жидкости выделяется какой-либо объем. В данном примере на рис. 2.2 рассматривается параллелепипед с гранями abсdи a'b'c'd'. На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.
рис. 2.2
ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ. Силы суммарного гидростатического давления по оси х с учетом приращения дРхбудут равны
 | (2.4) |
Напомним, что силы, направленные по оси, положительны, а против оси — отрицательны. Аналогично можно получить величины по оси у и z.
МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) СИЛЫ. Объемной силой называется сила, приложенная к массе жидкости в объеме параллелепипеда. Такой силой может быть сила тяжести p = mg. При постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m = rdxdydz. В гидравлике проекции ускорения объемных сил, отнесенных к единице массы, обозначаются X, Y, Z. Таким образом, по оси x можно записать
| dPx = Xrdxdydz | (2.5) |
Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна
| Pxdydz – Pxdydz - dxdydz + Xrdxdydz = 0 |
Производя сокращения и отнеся все члены уравнения к единице массы, т. е. разделив на величину массы rdxdydz, и учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Л. Эйлера по всем осям
 | |
 | (2.6) |
 | |
 |
 | (2.7) |
 |
Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.
б. Уравнение гидростатического давления можно получить из уравнений Л. Эйлера. Если умножить каждый его член на rdx, rdy и rdz и сложить их, то получим
 | (2.8) |
Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления
| dP=r(Xdx+Ydy+Zdz) | (2.9) |
Из последнего уравнения гидростатического давления видно, что давление зависит от плотности жидкости и бывает больше для плотных жидкостей.
В случае, если имеется поверхность равного давления, Р=const и dP=0, поскольку r не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид
| Xdx+Ydy+Zdz=0 | (2.10) |
в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:
| dP = r(Xdx+Ydy+Zdz) |
Интегрируя данное уравнение, можно его использовать для различных случаев покоя жидкости. Рассмотрим частный случай, когда жидкость находится в покое под действием силы тяжести. На рис. 2.3 на поверхности жидкости наметим точку в, в которой давление Р0. Начало координат совместим с точкой в, а ось z направим вниз. Выделим точку а, в которой жидкость находится под действием силы тяжести, равной весу р=mg. Примем массу m=1, тогда p=g, т. е. единичная массовая сила будет равна ускорению. Проекции этой силы на ось x и y будут равны 0: X=0; Y=0. Проекция силы тяжести на ось z= g, т. к. направление оси совпадает с направлением силы тяжести вниз, к центру Земли.
рис. 2.3
Согласно уравнению гидростатического давления dP будет равно
| dP=rgdz | (2.11) |
Интегрируем это уравнение в пределах от Р0 до Р и от z0 до z
 |
получим
| P – P0=rg(z-z0) | (2.12) |
Из рис. 2.3 видно, что глубина погружения точки а относительно свободной поверхности h=z – z0. Поэтому можем записать
| P – P0=rgh | (2.13) |
| P=P0 - rgh | (2.14) |
Последняя формула является уравнением гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести.
Если свободная поверхность жидкости соприкасается с атмосферой, то Р0=Ра и полное гидростатическое давление будет иметь вид
| Р=Ра +rgh | (2.15) |
Из уравнения гидростатического давления следует закон Паскаля: давление, воспринимаемое жидкостью, передается во все точки жидкости с одинаковой силой.
Избыточным, или манометрическим, давлением называется превышение давления над атмосферным
| Ризб=rgh | (2.16) |
Некоторые понятия в гидростатике
а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Ра. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» - греческое слово – давление, «метр» - измерение). Трубки А и В расположены на разных уровнях zА и zВ от плоскости сравнения 0-0. Жидкость в точках А и В, которая находится под давлением Р, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Ра, остановится на одной плоскости 0’-0’, называемой напорной плоскостью.