Задача коммивояжера (стр. 5 из 5)

1	2	3	4	5	6	7	8
1	13	6	13	14	15	14	16
2	13	11	11	8	13	17	14
3	6	11	5	6	11	7	11
4	13	11	5	2	6	7	6
5	14	8	6	2	6	5	6
6	15	13	11	6	6	13	5
7	14	17	7	7	5	13	9
8	16	14	11	6	6	5	9
табл. 13

Одним из возможных недостатков такого алгоритма является необходимость знать не матрицу расстояний, а координаты каждого города на плоскости. Если нам известна матрица расстояний между городами, но неизвестны их координаты, то для их нахождения нужно будет решить n систем квадратных уравнений с n неизвестными для каждой координаты. Уже для 6 городов это сделать очень сложно. Если же, наоборот, имеются координаты всех городов, но нет матрицы расстояний между ними, то создать эту матрицу несложно. Это можно легко сделать в уме для 5-6 городов. Для большего количества городов можно воспользоваться возможностями компьютера, в то время как промоделировать решение системы квадратных уравнений на компьютере довольно сложно.

На основе вышеизложенного можно сделать вывод, что мой алгоритм, наряду с деревянным алгоритмом и алгоритмом Дейкстры, можно отнести к приближённым (хотя за этим алгоритмом ни разу не было замечено выдачи неправильного варианта).

1.2.6. Анализ методов решения задачи коммивояжера

Для подведения итогов в изучении методов решения ЗК протестируем наиболее оптимальные алгоритмы на компьютере по следующим показателям: количество городов, время обработки, вероятность неправильного ответа. Данные занесём в таблицу.

Алгоритм лексического перебора
Кол-во городов	Время обработки, c	Вероятность неправильного ответа, %	Тип алгоритма
10	41	0	точный
12	12000=3ч.20мин	0
32	-*	0
100	-*	0
Метод ветвей и границ
10	~0	0	точный
32	~0.0001	0
100	1.2	0
Мой алгоритм решения ЗК
10	0.001	0	приближенный
32	2.5	0
100	6	0

*- ЗК с таким количеством городов методом лексического перебора современный компьютер не смог бы решить даже за всё время существования Вселенной.

Как видим по результатам этой таблицы, алгоритм лексического перебора можно применять лишь в случае с количеством городов 5..12. Метод ветвей и границ, наряду с моим методом, можно применять всегда. Хотя мой метод я отнёс к приближённым алгоритмам, он фактически является точным, так как доказать обратное ещё не удалось.

1.3 Практическое применение задачи коммивояжера

Кроме очевидного применения ЗК на практике, существует ещё ряд задач, сводимых к решению ЗК.

Задача о производстве красок. Имеется производственная линия для производства n красок разного цвета; обозначим эти краски номерами 1,2… n. Всю производственную линию будем считать одним процессором.. Будем считать также, что единовременно процессор производит только одну краску, поэтому краски нужно производить в некотором порядке Поскольку производство циклическое, то краски надо производить в циклическом порядке p=(j1,j2,..,jn,j1). После окончания производства краски i и перед началом производства краски j надо отмыть оборудование от краски i. Для этого требуется время C[i,j]. Очевидно, что C[i,j] зависит как от i, так и от j, и что, вообще говоря,C[i,j]≠C[j,i]. При некотором выбранном порядке придется на цикл производства красок потратить время.

Таким образом, ЗК и задача о минимизации времени переналадки – это просто одна задача, только варианты ее описаны разными словами.

Задача о дыропробивном прессе. Дыропробивной пресс производит большое число одинаковых панелей – металлических листов, в которых последовательно по одному пробиваются отверстия разной формы и величины. Схематически пресс можно представить в виде стола, двигающегося независимо по координатам x, y, и вращающегося над столом диска, по периметру которого расположены дыропробивные инструменты разной формы и величины. Каждый инструмент присутствует в одном экземпляре. Диск может вращаться одинаково в двух направлениях (координата вращения z). Имеется собственно пресс, который надавливает на подвешенный под него инструмент тогда, когда под инструмент подведена нужная точка листа.

Операция пробивки j-того отверстия характеризуется четверкой чисел (xj,yj,zj,tj),, где xj,yj- координаты нужного положения стола, zj - координата нужного положения диска и tj - время пробивки j-того отверстия.

Производство панелей носит циклический характер: в начале и конце обработки каждого листа стол должен находиться в положениях (x0, y0) диск в положении z0 причем в этом положении отверстие не пробивается. Это начальное состояние системы можно считать пробивкой фиктивного нулевого отверстия. С параметрами (x0,y0,z0,0).

Чтобы пробить j-тое отверстие непосредственно после i-того необходимо произвести следующие действия:

1. Переместить стол по оси x из положения xi в положение xj, затрачивая при этом время t(x)(|xi-xj|)=ti,j(x)

Проделать то же самое по оси y, затратив время ti,j(y)

Повернуть головку по кратчайшей из двух дуг из положения zi в положение zj, затратив время ti,j(z) .

Пробить j-тое отверстие, затратив время tj.

Конкретный вид функций t(x), t(y), t(z) зависит от механических свойств пресса и достаточно громоздок. Явно выписывать эти функции нет необходимости

Действия 1-3 (переналадка с i-того отверстия j-тое) происходит одновременно, и пробивка происходит немедленно после завершения самого длительного из этих действий. Поэтому

С[i,j] = max(t(x), t(y), t(z))

Теперь, как и в предыдущем случае, задача составления оптимальной программы для дыропробивного пресса сводится к ЗК (здесь - симметричной).

Выводы

Изучены эвристический, приближенный и точный алгоритмы решения ЗК. Точные алгоритмы решения ЗК – это полный перебор или усовершенствованный перебор. Оба они, особенно первый, не эффективны при большом числе вершин графа.

Предложен собственный эффективный метод решения ЗК на основе построения выпуклого многоугольника и включения в него центральных вершин (городов).

Проведён анализ наиболее рациональных методов решения ЗК и определены области их эффективного действия: для малого числа вершин можно использовать точный метод лексического перебора; для большого числа вершин рациональнее применять метод ветвей и границ или метод автора работы (Анищенко Сергея Александровича).

Изучены практические применения ЗК и задачи с переналадками, сводимые к ЗК.

Приведены тексты программ, позволяющие решить ЗК различными методами.

Список литературы

О. Оре Графы и их применение. Пер. с англ. под ред. И.М. Яглома. - М., «Мир», 1965, 174 с.

В. П. Сигорский. Математический аппарат инженера. - К., «Техніка», 1975, 768 с.

Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. Математическое программирование: учебное пособие. 2-е изд. перераб. и доп. - М.; Высшая школа, 1980, 300 с., ил.

Е. В. Маркова, А. Н. Лисенков. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. – М., Наука, 1979, 345 с.

Е. П. Липатов. Теория графов и её применения. - М., Знание, 1986, 32 с.

В. М. Бондарев, В. И. Рублинецкий, Е. Г. Качко. Основы программирования. – Харьков, Фолио; Ростов на Дону, Феникс, 1998, 368 с.

Ф. А. Новиков Дискретная математика для программистов. - Санкт-Петербург, Питер, 2001, 304 с., ил.