Характеристика различных способов тригонометрического нивелирован (стр. 2 из 6)
R = (1.7)
где N – радиус кривизны первого вертикала,
А12 – азимут линии 12, а величина
η = e'cos2Bm
где e' – второй эксцентриситет эллипсоида,
Bm – средняя широт точек 1 и 2.
Значения высот по отвесным линиям и нормалям к референц-эллипсоиду можно принимать практически одинаковыми. Разница этих высот в самом неблагоприятном случае, при Н = 7 км, не превышает 0,2мм.
В системе нормальных высот для одностороннего тригонометрического нивелирования имеем:
h12 = S ctg(z12 + δz12) + + i1 – l2 + (U12 – U21)S + ΔЕ12 (1.8)
а для двухстороннего:
h12=S tg+ + - +S + ΔЕ12 (1.9)
где U12 = z12 – Z12 , U21 = z21 – Z21 - наблюдаемые в точках 1 и 2 уклонения отвесных линий в плоскости нормального сечения линий 12;
Um – среднеинтегральное значение уклонения отвеса по линии 12;
ΔЕ - поправка за переход от измеренной разности высот к разности нормальных высот точек 1 и 2, вычисляемые по формуле:[3]
ΔЕ = – (Н1 – Н2)(В2 – В1)sin2Bm , (1.10)
где g – измеренная сила тяжести в точках линии 12;
γ – нормальная сила тяжести;
В12 – геодезические широты точек 1 и 2;
Bm – среднее значение широты линии 12;
Н1,2 – абсолютные высоты точек 1 и 2 в км.
К формулам (1.8) и (1.9) необходимо прибавить величину Δh = .
Погрешность вычисления превышений по формулам (1.8) и (1.9) за счет неучета Δh менее 1,5 мм лишь при превышениях h<100 м, тогда как при h>100 м ее величина возрастает пропорционально квадрату превышения.
Прогресс в области электрооптических измерений позволил осуществлять измерения длин линий с высокой точностью.
Сложившаяся практика выполнения тригонометрического нивелирования основана на использовании одностороннего и двухстороннего способов по горизонтальным проложениям, тогда как способы с непосредственно измеренными наклонными расстояниями не применяются. Хотя совершенно очевидно, что использование горизонтальных проложений приводит к потере времени за счет вычисления их величин.
Рассмотрим формулу одностороннего тригонометрического нивелирования по измеренным наклонным расстояниям (рис. 1.2):
1'2' = D – измеренное наклонное расстояние,
1"G, 2"G – радиусы кривизны квазигеоида, принимаемые равными радиусу кривизны эллипсоида – R.
Из треугольника 1'G2', считая известной сторону 1'G, найдем сторону 2'G:
2'G = (1.11)
приняв во внимание, что
2'G = R + H1 + h12 + l2, (1.12)
1'G = R + H1 +i1, (1.13)
произведя вычитание получим:
2'G – 1'G = h12 + l2 – i1 (1.14)
Выражение примет вид:
h'12 = – (R+H1) - l (1.15)
Для перехода к нормальному превышению необходимо ввести поправки за уклонение от отвесной линии Δhu и за непараллельность уровенных поверхностей ΔЕ.
Δhu = ξ1 – ξ2 , или Δhu = (U12 – Um12)Dsin(z12 + δz12). Поправка ΔЕ вычисляется по формуле (1.10). Таким образом окончательная формула одностороннего тригонометрического нивелирования примет вид:
h'12= –(R+H1)–l+(U12–Um12)Dsin(z12+δz12) +ΔЕ12 (1.16)
Примем i2 = l2. Переход к разности нормальных высот осуществляется с помощью поправок Δhu и ΔЕ. Окончательная формула двухстороннего тригонометрического нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит еще один измеренный элемент z12 и имеет вид:
h12=+i1–i2+ΔЕ12+Dcos (1.17)
В этих формулах принято что высоты теодолита, дальномера и визирной цели в точке 1 равны между собой, а в точке 2 аналогичное равенство наблюдается для теодолита, отражателя и визирной цели. В практике геодезических работ это условие не соблюдается. Кроме того измеренное наклонное расстояние, после введения поправок за центровку дальномера и редукцию отражателя принимается равным расстоянию между центрами знаков. Это действительно имеет место при z = 90° и больших длинах измеряемых сторон. Однако с увеличением углов наклона и использованием высоких сигналов измерения длина линии, исправленная поправками за центровку дальномера и редукцию отражателя, не будет равна расстоянию между центрами знаков.
Рассмотрим способ тригонометрического нивелирования через промежуточную точку. Иногда этот способ называют еще тригонометрическим нивелированием из середины. Этот способ аналогичен одностороннему тригонометрическому нивелированию и предполагает значительное ослабление рефракционных воздействий, если считать справедливой вторую рефракционную гипотезу.
Рассмотрим рис. 1.3, обозначения на котором полностью соответствуют ранее принятым на рис. 1.2.
Требуется по измеренным в точке 1 зенитным расстояниям определить превышение между точками 2 и 3.
Превышения между точками 1, 2 и 1, 3 в системе нормальных высот при использовании горизонтальных проложений определяется по формуле (1.8). Обозначим
S13 = S12 + ΔS (1.18)
Вычислив разность превышений между указанными точками, найдем:
h32 = S12(ctg(z12 + δz12) – ctg(z13 + δz13)) + (H2ctg(z12 + δz12) – H3ctg(z13 + δz13)) – ΔS ctg(z13 + δz13) – + + l1 – l2 + S12(U12–U13+Um13–Um12) – ΔS(U13–Um13) + ΔE12 – ΔE13 (1.19)
Формула тригонометрического нивелирования через точку с использованием непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится аналогично с условием, что
D13 = D12 + ΔD (1.20)
h32 = – ‑ + + D12(sin(z12+δz12)(U12–Um12) - sin(z13+δz13)(U13–Um13)) + ΔD(U13–Um13) sin(z13+δz13) + + ΔE12 – ΔE13 + l3 – l2 (1.21)
При соблюдении равноплечья члены, содержащие ΔS и ΔD обращаются в ноль, формула существенно упрощается.
Сравнив формулы способов тригонометрического нивелирования можно сделать вывод, что способ двухстороннего нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит минимальное количество величин, необходимых для вычисления превышений. Раньше, с точки зрения производственного применения способ двухстороннего тригонометрического нивелирования являлся более предпочтительным.
Однако с использованием ЭВМ для вычисления предпочтение можно отдать способу тригонометрического нивелирования через точку.
1.3. Погрешности тригонометрического нивелирования в зависимости от точности измеренных расстояний
Для подсчета суммарных величин погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования воспользуемся формулой вычисления средней квадратической ошибки:[4]
(1.22)
Полные формулы погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования получим из формул (1.8), (1.9), (1.16), (1.17), (1.19), (1.21).
Для одностороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеем:
mh2 = ms2 + mH2 + mR2 + (m2Z12 + m2δZ12) + S122(m2U12 + m2Um12) + m2ΔE12 + m2i + m2l (1.23)
Для одностороннего тригонометрического нивелирования по непосредственно измеренным наклонным расстояниям:
mh2 = mD2+ +·(mR2+mH2)+ +(mR2+mH2)+ +mi2+(D12sin(z12+δz12))2(m+m)+ +m+ m (1.24)
Формула полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеет вид:
m=m+ 2 m + +m+2+ +2 m +Sm+ m+2+2 (1.25)
Аналогично формулу полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по наклонным расстояниям можно получить подставив в формулу (1.22) (1.17)
Формулу полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку по горизонтальным проложениям получим подставив (1.19) в (1.22).
Формула полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится путем подстановки (1.21) в (1.22).
Сравнение величин предвычисленных средних квадратических ошибок определения превышений различными способами тригонометрического нивелирования в зависимости от отдельных источников ошибок выполним применительно к принятому подразделению рельефа местности на следующие районы (см. табл. 1.1.):
Плоскоравнинные 89° ≤ z ≤ 91°
Всхолмленные 86° ≤ z ≤ 94°
Горные 80° ≤ z ≤100°
Особые случаи 60° ≤ z ≤120°
К особым случаям относятся построения геодезического обоснования таких сооружений как фуникулеры, подъемники, канатные дороги, когда допускается включать в сеть стороны с зенитными расстояниями от 60° до 120°.
Для сопоставления точностей различных способов тригонометрического нивелирования все расчеты выполним для конкретных величин горизонтальных проложений равных 0,2, 0,6, 1,0, 1,5 2,0, 2,5, 3,0км.
Значения каждого из указанных горизонтальных проложений остаются неизменными для предельных зенитных расстояний, характеризующих район работы.
В расчетах участвуют указанные величины горизонтальных проложений и соответствующие им непосредственно измеренные наклонные расстояния, величины которых предвычисляются по формуле: D=S·cosecZ.
Для этого расчета принимается относительная ошибка определения горизонтальных проложений не более 1/50000, а погрешность непосредственного измерения длин линий от 0,1 до 6 км ± 10 мм.