Системный анализ проблемы многофакторного прогнозирования финансовых фондов государства (стр. 5 из 6)

Определим частичные средние арифметические

для каждого значения

, (4.2)

где

– число точек, оказавшихся в интервале

, причем

, где

– общее число наблюдений.

Соединим последовательно точки с координатами

отрезками прямых. Полученная ломаная линия называется эмпирической линией регрессии

по

; она показывает, как в среднем меняется

с изменением

. Предельное положение эмпирической линии регрессии, к которому она стремится при неограниченном увеличении числа наблюдений и одновременном уменьшении

, называется предельной теоретической линией регрессии. Ее нахождение и составляет основную задачу регрессионного анализа. Отметим, что по линии регрессии невозможно точно определить значение

по

в одном опыте. Однако зависимость

позволяет определить в среднем значение

при многократном повторении опыта при фиксированном значении

. В регрессионном анализе рассматривается связь между одной переменной, называемой зависимой, и несколькими другими, называемыми независимыми. Эта связь представляется в виде математической модели, т.е. в виде функции регрессии. Если функция линейна относительно параметров, но не обязательно линейна относительно независимых переменных, то говорят о линейной модели. В противном случае нелинейная. Статистическими проблемами обработки в регрессионном анализе являются:

1) получение наилучших точечных и интервальных оценок неизвестных параметров регрессионного анализа;

2) проверка гипотез относительно этих параметров;

3) проверка адекватности;

4) проверка множества предполагаемых предположений.

Исследуемый объект представлен на рисунке 4.2

Рисунок 4.2. Вид исследуемого объекта

Для корректного использования регрессионного анализа существует следующие предпосылки и следующие допущения на свойства регрессионной ошибки

;

– значение зависимой переменной, полученное подстановкой

в уравнение

;

– количество экспериментальных данных,

– количество независимых переменных:

Приведем свойства и предпосылки регрессионной ошибки.

Свойства регрессионной ошибки:

1) в каждом опыте

имеет нормальный закон распределения:

; (4.3)

2) в каждом опыте математическое ожидание

равно нулю:

; (4.4)

3) во всех опытах дисперсия

постоянна и одинакова:

; (4.5)

4) во всех опытах ошибки

независимы:

. (4.6)

Предпосылки регрессионной ошибки:

1) матрица наблюдений

имеет полный ранг:

; (4.7)

2) структура модели адекватна истинной зависимости;

3) значения случайной ошибки

не зависят от значений регрессоров

;

4) ошибки регистрации

регрессоров пренебрежимо малы по сравнению со случайной ошибкой

4.2 Метод группового учета аргументов

Метод группового учета аргументов (МГУА).использует идеи самоорганизации и механизмы живой природы – скрещивание (гибридизацию) и селекцию (отбор).

Рисунок 4.3

По результатам наблюдений надо определить F(x). Причем даже структура модели F(x) неизвестна.

Пусть имеется выборка из N наблюдений:

Наиболее полная зависимость между входами X(i) и выходами Y(i) может быть представлена с помощью обобщенного полинома Колмогорова-Габора.

Пусть есть

, тогда такой полином имеет вид:

(4.8)

где все коэффициенты а не известны.

При построении модели (при определении значений коэффициентов) в качестве критерия используется критерий регулярности (точности):

(4.9)

Необходимо, чтобы

Принцип множественности моделей: существует множество моделей на данной выборке, обеспечивающих нулевую ошибку (достаточно повышать степень полинома модели). Т.е. если имеется N узлов интерполяции, то можно построить целое семейство моделей, каждая из которых при прохождении через экспериментальные точки будет давать нулевую ошибку:

(4.10)

Обычно степень нелинейности берут не выше n-1, если n – количество точек выборки.

Обозначим S – сложность модели (определяется числом членов полинома Колмогорова-Габора).

Значение ошибки

зависит от сложности модели. Причем по мере роста сложности сначала она будет падать, а затем расти. Нам же нужно выбрать такую оптимальную сложность, при которой ошибка будет минимальна. Кроме того, если учитывать действие помех, то можно выделить следующие моменты:

При различном уровне помех зависимость

от сложности S будет изменяться, сохраняя при этом общую направленность (имеется ввиду, что с ростом сложности она сначала будет уменьшаться, а затем – возрастать).

При увеличении уровня помех величина

будет расти.

С ростом уровня помех,

будет уменьшаться (оптимальное значение сложности будет смещаться влево) см. рис 4.2 Причем

, если уровень помех ненулевой.