Основные имитационные модели инвестиций (стр. 2 из 5)
 |
Синхронизирующие моменты
Рис.1. Входной поток заявок
Обслуживающая система (ОС) представляет собой совокупность устройств (канал, прибор), которые обеспечивают обслуживание заявки, пришедшей в систему. Обслуживающая система характеризуется пропускной способностью (скоростью обслуживания), т.е. числом обслуженных заявок в единицу времени, и законом распределения времени обслуживания заявок. Примерами таких систем могут служить коммутатор телефонной станции, станок, на котором обрабатываются детали, машины химчистки одежды, оператор сберегательного банка, дежурная справочного бюро и пр.
Поток обслуживающих заявок, выходящих из обслуживающей системы, называется выходным потоком заявок. Параметром выходного потока является интенсивность.
Всякая система массового обслуживания имеет определенную дисциплину очереди, т.е. порядок обслуживания пришедших заявок. Дело в том, что бывают случаи, когда система обслуживания не в состоянии немедленно обслужить все заявки. В результате образуется очередь из заявок, пришедших на обслуживание. То, в каком порядке заявки из очереди будут поступать в обслуживающую систему, определяется дисциплиной очереди. Например, первой заявка поступила и первой обслуживалась; последней заявка поступила и первой обслуживалась; случайный порядок обслуживания заявок; обслуживание определенных заявок в первую очередь (заявки с приоритетом) и т.п.
Рассмотрим более детально характеристики входного потока заявок (ВПЗ) и простейшие системы массового обслуживания (СМО).
Потоком однородных событий называют временную последовательность появления заявок на обслуживание при условии, что все заявки являются равноправными. Существуют также потоки неоднородных событий, когда та или иная заявка обладает каким-то приоритетом.
Если поток однородный, то каждое событие характеризуется только моментом времени его наступления tj. Существуют два способа задания однородных событий. Первый заключается в перечислении всех известных моментов tj, второй — в указании зависимости, позволяющей рассчитать tj по предыдущим значениям.
Однако на практике более интересны случайные потоки однородных событий, задаваемые законом распределения, который и характеризует последовательность t1, t2,…tm или последовательность интервалов между случайными событиями ξ1, ξ2…ξm. Совокупность случайных величин {ξ} считается заданной, если при к≥1 определена совместная функция распределения вида
F(z1,z2,…zk) = Р(ξ1<z,ξ2<z2,…,ξk<zk)
или для непрерывной случайной величины соответствующая плотность распределения вероятностей f(z1,z2,…zk)
Часто применяется случайный поток событий с ограниченным последействием (когда случайные величины ξj являются независимыми).
Существуют также стационарные потоки, для которых вероятностный режим потока во времени остается неизменным. Это означает, что число заявок, поступивших в СМО в единицу времени, постоянно.
Потоком с отсутствием последействия называется такой поток, у которого число заявок, поступивших в данный момент времени, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущий момент времени. Поток с отсутствием последействия является частным случаем потока с ограниченным последействием. Для потока без последействия вероятность Pk(t0,t) наступления k событий за интервал (t0,t+t) не зависит от возникновения событий до момента t0.
Для потоков с ограниченным последействием совместная функция плотности f(z1,z2,…zk) может быть представлена в виде
f(z1,z2,…zk)= f1(z1),f2(z2),…fk(zk)
Стационарный поток с ограниченным последействием имеет следующее соотношение:
F2(z)=f3(z)=…=fk(z)=f(z)
Это означает, что при j > 1 интервалы ξj имеют одинаковое распределение. Математическое ожидание случайной величины ξj при j> 1
μ=
,где μ имеет смысл средней длины интервала между последовательными заявками.
Для стационарных потоков с ограниченным последействием можно ввести понятие интенсивности потока λ в виде λ=1/μ
Эта величина характеризует среднее количество событий в единицу времени для данного потока.
Примером стационарного потока с ограниченным последействием является поток с равномерным распределением интервалов времени между заявками. Функция плотности f(z) такого потока имеет вид
F(z) =1/b, ≤ z≤b.
Такой поток часто используется в практических задачах, возникающих в экономических приложениях.
Ординарным потоком называется такой поток, в котором невозможно появление двух и более событий одновременно. В практике часто приходится сталкиваться с групповыми заявками, т.е. несколькими событиями, проявляющимися одновременно. Такие потоки не являются одинарными.
В теории СМО весьма большое значение имеет так называемый простейший поток однородных событий, называющийся потоком Пуассона (пуассоновский поток). Этот поток должен быть стационарным, однородным и без последействия.
Для потока Пуассона вероятность Рк (t) наступления события за интервал времени длиной / записывается следующим образом:
Pk(t)=
,где е — основание натурального логарифма; λt — среднее число заявок, поступивших на обслуживание за интервал t; k — количество заявок за интервал времени t.
Функция плотности вероятности этого потока
F(z) = λe-λz, λ = 1/t,
где λ — интенсивность или плотность потока.
Для расчетов параметров СМО на основе потока Пуассона необходимо проверить, соответствует ли поток закону распределения Пуассона. Признаком потока Пуассона является равенство математического ожидания
дисперсии 
, т.е. 
Пусть х — число заявок, поступивших за единицу времени, т — число единиц времени с соответствующим поступлением заявок, п — общее число единиц времени.
Пример. Проверить, является ли поток требований в систему распределенным по закону Пуассона.
| х | т | тх | тх2 |
| 0 | 10 | 0 | 0 |
| 1 | 31 | 31 | 31 |
| 2 | 40 | 80 | 160 |
| 3 | 20 | 60 | 180 |
| 4 | 10 | 40 | 160 |
| 5 | 4 | 20 | 100 |
| 6 | 6 | 36 | 216 |
| Итого: | 121 | 267 | 847 |
Теперь рассчитаем
Дисперсия потока
В связи с тем, что, поток можно считать пуассоновским.
Простейший поток и поток с равномерным распределением интервалов времени между последовательными событиями наиболее часто применяются в теории и практике СМО.
Часто используется также ординарный стационарный поток с отсутствием последействия, который называется потоком Эрланга. Потоком Эрланга порядка т называют поток, для которого
Где λ=
/mПоток событий называется регулярным, если длина интервала между событиями является постоянной величиной. Примерами такого потока могут служить ежедневные сводки о каких-либо событиях (отчеты о дневной выручке в магазине, ежедневная сумма сделок на бирже или прихода средств в банк и т.п.), регламентированный поток деталей, сходящих с конвейера, поток поездов в метро и др.
Если известна длина интервала регулярного потока а, то данный поток полностью определен во времени и не является случайным. Регулярный поток также является ординарным и стационарным. Однако регулярный поток является потоком с последействием. Интенсивность регулярного потока будет
Потоки событий различного вида могут разряжаться и объединяться. К сожалению, эти термины могут применяться только к потокам определенного вида. Например, если интервалы в потоке Эрланга n-го порядка уменьшить в n+1 раз, то интенсивность полученного потока станет равной интенсивности исходного пуассоновского потока, с ростом n такой поток становится сколь угодно близким к регулярному с той же интенсивностью. Такие нормированные потоки Эрланга дают различные типы потоков с последействием, начиная от потоков без последействия (n= 0) и кончая регулярными (n = ∞).
Если происходит объединение нескольких независимых ординарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых потоков объединенный поток приближается к простейшему с возможной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны, то в пределе получается пуассоновский поток. Интенсивность объединенного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.
Поток, получаемый в результате случайного разряжения или объединения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.