Финансовые расчеты (стр. 24 из 24)
Рис.1. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от времени до истечения контракта
Расчеты получены по формулам Блэка-Сколеса при S0=40, K=42, T=0.5, r=25%,
=15%, 
=33.5% с использованием простейшей квадратурной формулы прямоугольников для вычисления интегралов. Для таких параметров опционов получены следующие величины премий: Prcall = 4.058, Prput = 3.073. 
Рис.2. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от цены исполнения
Согласно неравенству Чебышева, погрешность оценки премии методом Монте-Карло убывает пропорционально
, где Nsample - объем моделируемых траекторий решения СДУ. Это значит, что при необходимости увеличения точности расчета премии в 10 раз, объем моделируемых траекторий потребуется увеличить в 100 раз. Например, для приведенных выше параметров опциона при Nsample=100 получены оценки премий Prcall= 3.523, Prput = 3.185, при Nsample = 10000 имеем Prcall = 4.138, Prput = 3.077, а при Nsample = 1000000 имеем не менее двух цифр после запятой, совпадающих с расчетом по формулам Блэка-Сколеса: Prcall =4.058, Prput =3.070. При статистическом моделировании значений ST использовалась точная формула  | (14) |
с шагом h = 0.5.
На рис.3 приведены графики дисконтированного среднего выигрыша Pt для опционов купли и продажи американского стиля, полученные для приведенных выше параметров опциона при объеме выборки Nsample = 100000. При моделировании значений St использовалась формула (14) с шагом h = 0.025.
Рис.3. Дисконтированный средний выигрыш Pt для опционов купли и продажи американского стиля
Как видно из рисунка, максимальное значение дисконтированного среднего выигрыша для обоих опционов достигается в конце интервала [0,T]. Это означает, что при выбранных параметрах премии опционов купли и продажи европейского и американского стиля совпадают и равны Prcall = 4.06, Prput = 3.07.
В реальной жизни в каждом опционном классе премию приходится рассчитывать для целого набора цен исполнения, предлагаемых администрацией биржи перед торгами. Для метода Монте-Карло это означает, что необходимо провести расчеты премии последовательно для всех цен исполнения. Но так как цена базисного актива St не зависит от цены исполнения К, то расчет премий для разных К может осуществляться одновременно на одном и том же моделируемом ансамбле траекторий СДУ, что значительно снижает трудоемкость алгоритма. На рис.4 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены исполнения. Как видно из рисунка, премии опционов американского и европейского стиля совпадают до тех пор, пока цена исполнения K
44, а затем премия опциона американского стиля постепенно начинает превышать премию опциона европейского стиля, причем разрыв увеличивается с ростом цены исполнения. Фактически, при K>44 премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона: Prput = K - S0. Расчеты проведены при объеме выборки Nsample = 100000. При статистическом моделировании значений St использовалась формула (14) с h=0.025. 
Рис.4. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены исполнения
Одним из наиболее серьезных рисков для подписчика опциона является неточная оценка будущей волатильности цены или значения базисного актива, так как это может привести к значительной ошибке в оценке стоимости опциона. В связи с этим желательно знать степень зависимости премии от изменения величины волатильности. Для получения такой зависимости методом Монте-Карло для каждого значения
приходится моделировать свой ансамбль траекторий СДУ. На рис.5 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от величины волатильности. Как видно из рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию опциона европейского стиля, пока волатильность меньше 25%. При < 22% премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона: Prput = K - S0 = 2. 
Рис.5. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского стиля от волатильности
Большой интерес представляет чувствительность премии опциона к движениям начальной цены базисного актива. Для метода Монте-Карло ситуация схожа с предыдущей: для каждого значения начальной цены S0 необходимо моделировать свой ансамбль траекторий СДУ. На рис.6 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены акции. Как видно из рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию опциона европейского стиля, пока цена акции менее 38. При S0<38 премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона.
Рис.6. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены акции
Все предыдущие расчеты были связаны с линейной непрерывной моделью цены базисного актива (1). Оценим премию опциона купли американского стиля, основываясь на дискретной модели цены базисного актива
при
=0.5 и =199.4%. Дисконтирование выигрыша держателя опциона выполним для простой процентной ставки: 
На рис.7 приведены графики зависимости премии опциона купли американского стиля от цены исполнения, вычисленные по линейной непрерывной и нелинейной дискретной модели цены базисного актива. Решение о том, какая из этих двух моделей лучше соответствует реальным данным, принимается в каждом конкретном случае.
Рис.7. Премия опциона купли американского стиля для непрерывной и нелинейной дискретной модели