Финансовые расчеты (стр. 22 из 24)
а максимально возможные убытки по формуле
При хеджировании длинной позиции владельца акций покупкой опциона продажи прибыли/убытки от полного хеджирования рассчитываются по формуле
Лекция 8.
Расчет премии опциона методом Монте-Карло
Основная страница
Лекция 1. Базисные финансовые расчеты.
Лекция 2. Кредит. Ценные бумаги с фиксированным доходом.
Лекция 3. Иностранная валюта.
Лекция 4. Обыкновенные акции.
Лекция 5. Финансовые фьючерсы.
Лекция 6. Опционы.
Лекция 7. Арбитраж и хеджирование.
Лекция 8. Расчет премии опциона методом Монте-Карло.
- Модели расчета премии опциона
- Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло
- Оценка неизвестных параметров математической модели цены
- Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло
- Литература
Модели расчета премии опциона
Справедливая стоимость опциона - это обоснованный минимальный платеж покупателя опциона подписчику, получив который подписчик опциона может, используя хеджирующую стратегию, обеспечить гарантированным образом опционные платежи, независимо от случайного состояния цены базисного актива на рынке. Для краткости далее будем справедливую стоимость опциона называть премией, также как и рыночную цену опциона.
Модель Блэка-Сколеса
При расчете теоретической премии опциона большое значение имеет, как выбрана математическая модель цены базисного актива. Наиболее часто в настоящее время используется модель в виде скалярного линейного СДУ с мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности:
dSt =  St dt +  St dw(t). | (1) |
Знаменитая формула Блэка-Сколеса расчета премии стандартного опциона купли европейского стиля, полученная для такой модели, записывается в виде
 | (2) |
где
Ф(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, K - цена исполнения опциона, S0 - цена или значение базисного актива в момент покупки опциона, r - безрисковая процентная ставка, T - оставшийся срок до истечения контракта.
Для моделей других типов, а также для опционов американского стиля такой простой формулы не получено. Как видим, формула Блэка-Сколеса связывает размер премии с шестью параметрами:
Pr = Pr(S0, K, T, r,
, ).Премия опциона купли европейского стиля прямо пропорциональна цене базисного актива S0, волатильности
, оставшемуся сроку до истечения контракта T, безрисковой процентной ставке r и обратно пропорциональна цене исполнения K.Премия опциона продажи может быть записана в аналогичном виде:
 | (3) |
При расчете премии параметр
в СДУ задается по-разному в зависимости от типа базисного актива:- = r для опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;
- = r-q для опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;
- = r-rf для валютного опциона, причем r - безрисковая ставка процента в валюте торговли, rf - в базисной валюте;
- = r-q для опционов на акционные индексы, где q - осредненная ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;
- = 0 для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь St - текущая фьючерсная цена;
- = r-q для облигационных опционов, где q - приведенная купонная процентная ставка, а St - текущая цена базисной облигации.
Фактически, выбор значений параметров
и является составной частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного актива при расчете премии опциона.Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло
Основной вычислительной задачей, обычно решаемой методом Монте-Карло, является задача оценки среднего значения некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опциона купли европейского стиля метод Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания
 | (4) |
В данной записи величина e-rT(ST-K)+ является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный выигрыш. В формуле (4) вместо стандартного выигрыша (ST-K)+ может использоваться любой нестандартный выигрыш F(ST,K) 
0.
Премия опциона купли американского стиля может быть вычислена как
 | (5) |
а опциона продажи как
 | (6) |
В отличие от формулы Блэка-Сколеса, при использовании метода Монте-Карло для расчета премии опционов по формулам (4)-(6) нет жесткой привязки к линейному СДУ с мультипликативным шумом. В качестве математической модели цены конкретного базисного актива St может использоваться любое из исследованных ранее СДУ, дающее оценки премии, более походящие при торговле конкретным опционным контрактом на конкретной бирже.
Для расчета премии опционов американского стиля необходимо построить на интервале моделирования [0,T] равномерную сетку, оценить стандартным образом дисконтированный средний выигрыш
или 
во всех узлах сетки и в качестве премии принять максимальное значение сеточной функции {Pt}. Премия опциона европейского стиля совпадает с PT, а значит, она не может превышать премию соответствующего опциона американского стиля. Заметим, что величина P0 совпадает с внутренней стоимостью опциона.Принятие решения, какая модель расчета премии лучше подходит для реальной торговли конкретными опционами на конкретной бирже, связано с большими предварительными расчетами и сравнениями, и в основном опирается на накопленный опыт, а не на статистические критерии проверки гипотез.
Хеджирующая стратегия
Рассуждения о справедливой стоимости опциона основываются на предположении, что подписчик опциона за весь срок контракта будет использовать хеджирующую стратегию, обеспечивающую ему гарантированный выигрыш или хотя бы отсутствие проигрыша при исполнении опциона держателем. На момент подписания в распоряжении подписчика опциона купли находится портфель из наличных и акций, общая стоимость которого совпадает с размером полученной премии Prcall. Подписчик наличные может положить в банк под безрисковый процент r, а также может изменять соотношение между количеством наличных и акций путем покупки или продажи акций. Таким образом, стоимость портфеля подписчика изменяется во времени в соответствии с формулой
 | (7) |
где коэффициент
определяет сумму стоимостей на банковском счете на момент времени t, а коэффициент хеджа 
определяет сумму в акциях. В данном способе формирования портфеля нет ограничений на возможные значения коэффициентов и , т.е. допускается занятие в долг. Коэффициент хеджа в формуле (7) выступает в качестве меры корреляции между стоимостью хеджирующего портфеля и ценой базисного актива в любой момент действия опционного контракта. Под минимальным хеджем понимается хеджирующая стратегия, обеспечивающая гарантированные опционные платежи при минимальной премии.