· обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);
· обыкновенный процент с приближенным числом дней (ФРГ, Дания, Швеция);
· точный процент с точным числом дней (Великобритания, США).
В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции.
Пример: Предоставлена ссуда в размере 5 млн.руб. 25 января с погашением через шесть месяцев (25 июля) под 60% годовых (год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (S).
Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по таблице с номерами дней года:
206—25 == 181 дн. Приближенное число дней ссуды равно: 5 дней января (30—25) +150 (по 30 дней пяти месяцев: февраль, март, апрель, май, июнь) + 25 (июль) = 180 дн.
Возможные варианты возврата долга:
1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:
S = 5 • (1 + 181:365 • 0,6) = 6,487 млн.руб.
2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:
S = 5 • (1 + 181:360 • 0,6) = 6,508 млн.руб.
3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:
S = 5 • (1 + 180:360 • 0,6) = 6,5 млн.руб.
Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет вексель банку, который соглашается его учесть, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле:
PV == FV* (1 —f*d), или PV = FV • (1 —t/T*d),
где f — относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что операция имеет смысл, когда число в скобках не отрицательно).
Пример
Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Тогда сумма, которую векселедержатель может получить от банка, рассчитывается по формуле (4.6) и составит:
PV = 5 • (1 —15:360 • 0,75) = 4,844 млн.руб.
Разность между величинами FV и PV представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу, за предоставленную услугу; в данном примере она составила 156 тыс. руб.
3.4. Внутригодовые процентные начисления
В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается величина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:
Fn =P*(1+r/m)k*m
где r—объявленная годовая ставка;
m—количество начислений в году;
k—количество лет.
Пример: Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. руб на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:
| Период (месяцев) | Сумма с которой идет начисление | Ставка (в долях ед.) | Сумма к концу периода |
| 6 | 5.000 | 1.1 | 5.500 |
| 12 | 5.500 | 1.1 | 6.050 |
| 18 | 6.050 | 1.1 | 6.655 |
| 24 | 6.655 | 1.1 | 7.321 |
Если воспользоваться приведенной формулой, то m = 2, k = 2, следовательно:
Fn = 5 * (1+20%/100%/2)4 = 7,3205 млн. руб.
Пример: В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.
В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:
Fn = 5 • (1 + 0,05)8 = 7,387 млн.руб.
Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:
· при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);
· чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.
3.5. Начисление процентов за дробное число лет
Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:
· по схеме сложных процентов:
Fn = P * (1+r)(w+f)
· по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):
Рn=Р*(1+r)w*(1+f*r),
Поскольку f< 1, то (1 + f*г) > (1 + г)f, следовательно наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.
Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:
а) схема сложных процентов:
Fn=P•(l+г/m)m*k•(l+r/m)f
б) смешанная схема:
Fn = Р*(1 + r/m) m*k* (1 + f*r),
где k — количество лет;
m - количество начислений в году;
r — годовая ставка;
f — дробная часть подпериода.
Пример: Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.
а) в этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами, приведенными выше, и значениями соответствующих параметров: w = 2; f=0,25;r= 16%.
При реализации схемы сложных процентов:
Fn = Р-(1 + r)w+f= 120 *(1 + 0,16)2.25 = 167,58 млн. руб.
При реализации смешанной схемы:
Fn = Р • (1 + r)w* (1 + f * r) = 120 * (1 + 0,16)2* 1,04 == 167,93 млн. руб.
б) в этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами, когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения: k = 2; f = 0,5; m = 2; r = 16%.
При реализации схемы сложных процентов:
Fn=P*(1 +r/m)m*k*(l+r/m)f= 120*(l+0,08)4.5 = 169,66 млн. руб.
При реализации смешанной схемы:
Fn = Р*(1 + г/m) m*k*(1+ f*r/m) = 120*(1 + 0.08)4*(1 + 1/2*0,16/2) = 169, 79 млн. руб
в) в этом случае продолжительность ссуды кратна продолжительности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов, в которой n = 9, а r = 0,16/4 = 0,04.
Fn = 120* (1 + 0,04)9 = 170,8 млн.руб.
В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.
3.6. Эффективная годовая процентная ставка
Различные виды финансовых контрактов могут предусматривать различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для обеспечения сравнительного анализа эффективности таких контрактов необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка Rе, обеспечивающая переход от Р к Fn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.
Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной величины F1. Требуется найти такую годовую ставку Re, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. m = 1. Иными словами, схемы {Р, F1, г, m > 1} и {Р, F1, Rе, m = 1} должны быть равносильными.