Теория процентов (стр. 2 из 5)

Ричард П. Бриф, профессор бизнеса Нью-Йоркского университета, считает, что «вычисление [сложных процентов] должно быть понятно большинству людей» [12. с. 210-220].

Метод сложных процентов интриговал людей всегда. В начале прошлого века английский астроном Фрэнсис Бейли подсчитал, что британский пенс, инвестированный под 5% годовых на условиях сложных процентов в год рождения Христа, принес бы к 1810 г. столько золота, что его хватило бы для заполнения 357 млн. земных шаров. Бенджамин Франклин был более практичен. После своей смерти в 1790 г. он оставил по 1000 фунтов двум городам — Бостону и Филадельфии с условием, что они не будут трогать эти деньги в течение 100 лет. Наследство Бостона, эквивалентное примерно 4600 долл., к 1890 г. увеличилось до 332000 долл.

Но делающим сбережения лицам и инвесторам не нужно жить до 100 лет, чтобы получить выгоды [10. с. 114-123].

Рассмотрим инвестирование с текущей стоимостью в 10000 долл., на которые ежегодно начисляется 8%. После первого года размер их возрастет до 10800 долл. (1,08 х 10000). После второго года они будут стоить 11664 долл. (1,08 х 10800). Еще через три года сумма возрастет до 14693 долл. Такая же концепция применима к потребительским кредитам. Ссуда в 10000 долл. под 8 сложных процентов, начисляемых раз в год, будет оцениваться в 14693 долл. (сумма, которую необходимо возвратить) через 5 лет [12. с. 210-220].

Инвесторы и делающие сбережения лица могут также использовать упрощенное эмпирическое правило для определения того, как долго нужно ждать удвоения суммы денег при данной процентной ставке с начислением процентов раз в год: разделите 72 на ставку процента. Например, инвестиции в 10000 долл., приносящие доход в 8% в год, удвоились бы через 9 лет (72:8).

Но следовало бы знать, что инфляция тоже развивается по принципу сложного процента. Пока инфляция не исчезнет, эти планируемые 20000 долл. через 9 лет будут стоить несколько меньше, чем они стоят теперь[10. с. 114-123].

Когда проценты выплачиваются ежегодно, вычисления по методу сложных и простых процентов приведут к одинаковому результату; в этом случае объявленная ставка процента и действительная ставка будут равны. Данные табл. 1 могут быть использованы для иллюстрации метода вычисления сложных процентов. В этом случае процентный доход, получаемый каждый год, остается на депозите, а не изымается. 50 долл., полученных с 1000 долл. в виде процентов за 1989 г., становятся частью остатка, на который выплачиваются проценты в 1990 г., и т.д.

Следует обратить внимание на то, что в процессе вычисления сложных процентов используется и метод простых процентов, т.е. проценты рассчитываются только на фактическую сумму за фактический период, в течение которого она находилась на депозите [6. с. 65-78].

Таблица 1. Данные об остатках сберегательного счета (при годовом начислении и реинвестировании по ставке 5%)

Дата	(1)Вклад (или изъятие) (в долл.)	(2)Остаток на счете на начало периода (в долл.)	(3)Проценты за год (в долл.)	(4)(2+З)Остаток на счете на конец периода (в долл.)
1 янв. 1989 г.	1000	1000,00	50,00	1050,00
1 янв. 1990 г.	(300)	750,00	37,50	787,50
1 янв. 1991 г.	1000	1787,50	89,38	1876,88

Таблица 2. Данные об остатках сберегательного счета (при полугодовом начислении и реинвестировании по ставке 5%)

Дата	(1)Вклад (или изъятие) (в долл.)	(2)Остаток на счете на начало периода (в долл.)	(3)Проценты за год (в долл.)	(4)(2)+(3)Остаток на счете на конец периода (в долл.)
1 янв. 1989 г.	1000	1000,00	25,00	1025,00
7 янв. 1989г.	1025,00	25,63	1050,63
1 янв. 1990 г.	(300)	750,63	18,77	769,40
7 янв. 1990г.	769,40	19,24	788,64
1 янв. 1991 г.	1000	1788,64	44,72	1833,36
7 янв. 1991 г.	1833,36	45,83	1879,19

Когда используется метод сложных процентов, объявленная и действительная ставки процента равны только в том случае, если процент выплачивается один раз в год. В общем, чем чаще выплачиваются проценты по объявленной ставке, тем выше будет действительная ставка процента. Вычисления процентов на основе данных о вкладах из табл. 1 включены в табл. 2; здесь предполагается, что проценты начисляются каждые полгода (дважды в год). Сумма процентов за каждый шестимесячный период находится умножением остатка за 6 месяцев на половину установленной ставки в 5% (см. столбец 3 табл. 2) [10. с. 114-123].

Сравнивая остаток на счете на конец 1991 г. в 1876,88 долл., подсчитанный в табл. 1 при норме в 5% с ежегодным начислением, с остатком на счете на конец 1991 г. в 1879,19 долл., подсчитанным в табл. 2 при норме в 5% с начислением раз в полгода, мы можем обнаружить, что более высокие доходы связаны с тем, что проценты начисляются чаще. Ясно, что в случае начисления процентов раз в полгода действительная ставка процента выше, чем 5% при начислении раз в год. Используя технику, которая в данном тексте не рассматривается, мы получим действительную ставку процента на вклады из табл. 2 в 5,063%. Сводка действительных ставок процента, связанных с объявленной 5%-й ставкой и различными периодами начисления (число процентных периодов), представлена в табл. 3.

Таблица 3. Действительная ставка процента для периодов начисления разной продолжительности (при объявленной ставке 5%)

Период начисления процентов	Действительная ставка процента
Ежегодно	5,000
Каждые полгода	5,063
Ежеквартально	5,094
Ежемесячно	5,120
Еженедельно	5,125
Непрерывно	5,127

Непрерывное начисление процентов, которое представляет собой начисление в течение самого короткого из возможных промежутка времени, позволяет получить максимальную норму доходности при данной объявленной ставке процента. Из табл. 3 очевидно, что, чем чаще начисляется процент, тем выше действительная ставка. Из-за того влияния, которое оказывает на доход разница в продолжительности периодов начисления процентов, инвестору следовало бы оценивать действительную ставку процента, связанную с различными альтернативами, до того, как сделать выбор [12. с. 210-220].

2. Будущая и приведенная стоимость: развитие концепции сложных процентов

Будущая стоимость — это сумма, до которой возрастет текущий вклад за период с момента его помещения на счет, по которому начисляются сложные проценты (будущую стоимость иногда называют наращенной стоимостью). Возьмем депозит в 1000 долл., приносящий ежегодно 8%, рассчитанных методом сложных процентов. Чтобы найти будущую стоимость этого вклада в конце года, следует проделать такие вычисления:

Сумма денег на конец первого года = 1000 х (1 + 0,08) = 1080 долл.

Если бы деньги были оставлены на депозите еще на год, 8% начислялись бы на остаток счета в 1080 долл. Таким образом, к концу второго года на счете оказалось бы 1166,4 долл. Эти 1166,4 долл. представляли бы остаток на начало года в 1080 долл. плюс 8% от 1080 долл. (86,4 долл.). Будущая стоимость на конец второго года вычисляется следующим образом [10. с. 114-123]:

Сумма денег на конец второго года = 1080 х (1 + 0,08) = 1166,4 долл.

Чтобы определить будущую стоимость 1000 долл. к концу года n, рассмотренные выше процедуры должны быть повторены nраз. Поскольку этот процесс может быть достаточно утомительным, существуют таблицы факторов наращения. Фрагмент такой таблицы представлен в табл. 4. Факторы наращения в таблице показывают сумму, до которой возрос бы первоначальный вклад в 1 долл. при различной комбинации периодов и альтернативных процентных ставок. Например, доллар, вложенный на депозит, по которому выплачивается 8%, и оставленный на нем на два года, возрос бы до 1,166 долл. Используя фактор наращения для ставки в 8% и двух лет (1,166), можно определить будущую стоимость инвестиций (вкладов), если умножить инвестированную сумму на соответствующий фактор наращения. В случае если на депозите на два года под 8% оставлена 1000 долл., при ежегодном реинвестировании итоговая будущая стоимость будет равна 1166 долл. (1,166 х 1000), которая соответствует (за исключением небольшой разницы вследствие округления) стоимости, вычисленной ранее [12. с. 210-220].

Таблица 4. Факторы наращения для одного доллара[1]

Ставка процента
Год	1%	6%	7%	8%	9%	10%
1	1,050	1,060	1,070	1,080	1,090	1,100
2	1,102	1,124	1,145	1,166	1,188	1,210
3	1,158	1,191	1,225	1,260	1,295	1,331
4	1,216	1,262	1,311	1,360	1,412	1,464
5	1,276	1,338	1,403	1,469	1,539	1,611
6	1,340	1,419	1,501	1,587	1,677	1,772
7	1,407	1,504	1,606	1,714	1,828	1,949
8	1,477	1,594	1,718	1,851	1,993	2,144
9	1,551	1,689	1,838	1,999	2,172	2,358
10	1,629	1,791	1,967	2,159	2,367	2,594

Следовало бы осветить еще несколько моментов, касающихся таблиц будущей стоимости. Во-первых, числа в таблице представляют собой факторы наращения для определения будущей стоимости одного доллара к концу данного года. Во-вторых, с увеличением ставки процента для данного года увеличивается и фактор наращения, или фактор будущей стоимости. Таким образом, чем выше ставка процента, тем больше будущая стоимость. Наконец, обратите внимание на то, что для данной ставки процента будущая стоимость доллара увеличивается с течением времени. Также важно понимать, что фактор наращения будущей стоимости всегда больше 1; и только если норма процента равна нулю, этот коэффициент будет равен 1, а будущая стоимость, следовательно, будет равна первоначальному вкладу.