Складывая выражения (в) и (г), получим выражение полной удельной энергии элементарной струйки
Здесь
Полная удельная энергия потока Е складывается из удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии Ек потока.
Для случая установившегося плавно изменяющегося движения жидкости удельная потенциальная энергия во всех точках живого сечения одинакова и равна
Поток жидкости рассматривается как совокупность п элементарных струек, каждая из которых обладает своей удельной кинетической энергией
Определим среднее значение этой величины в сечении потока. Для этого действительные скорости элементарных струек u1, u2, ..., ипзаменим средней скоростью потока v;тогда среднее значение удельной кинетической энергии потока в данном сечении равно
Здесь a – коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению потока (или корректив кинетической энергии).
Безразмерный коэффициент a представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Если эпюра скоростей в сечении потока близка к прямоугольной, т.е. скорости в разных точках близки к средней, то коэффициент Кориолиса a близок к единице. Если же скорости в сечении значительно различаются между собой, то и коэффициент a оказывается значительно больше единицы.
Рассмотрим, например, поток глубиной Н = 6м, в сечении которого скорости распределены по треугольнику, т.е. у дна скорость равна нулю и к поверхности нарастает по закону прямой до наибольшего значения ипов = 3 м/сек. Средняя скорость v = 1,5 м/сек, а соответствующая ей кинетическая энергия
Оценим кинетическую энергию потока точнее. Для этого возьмем три точки на высоте h1 = 1м; h2 = 3 м и h3 = 5 м, которые лежат посредине слоев равной высоты по 2 м каждый. Скорость в этих точках соответственно и1 = 0,5; и2 = 1,5 и и3 = 2,5 м/сек. Вычислим кинетическую энергию по этим трем скоростям
что больше, чем по средней скорости.
Коэффициент Кориолиса получается
На основе обработки многочисленных данных, полученных на реках и каналах, установлено, что для больших открытых потоков
В дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, для упрощения расчетов будем принимать
|
а учитывая выражения (е) и (д), имеем
УравнениеД. Бернуллидляэлементарнойструйки. Выделим в установившемся потоке реальной жидкости элементарную струйку (рис. 21) и определим удельную энергию жидкости в двух произвольных сечениях 1-1и2-2. Высоты положения центров первого и второго сечений будут соответственно z1и z2; гидродинамическое давление и этих же точках р1и р2скорости течения – и1и и2. Тогда полная удельная энергия элементарной струйки в сечении 1-1на основании формулы (71)равна
а в сечении 2-2
Практически всегда
Для идеальной жидкости, где отсутствуют силы трения, в уравнении (IV.7) hw= 0 и уравнение Бернулли принимает вид
Но так как сечения 1-1и2-2 взяты произвольно, то в общем виде уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости записывается так:
УравнениеД. Бернуллидляпотока.Рассмотрим поток при установившемся, плавно изменяющемся движении (рис. 22). Выберем произвольно два сечения 1-1 и 2-2, по осям которых соответственно имеем z1и z2 – вертикальные координаты оси потока над произвольной плоскостью сравнения о-о, р1и p2гидродинамические давления, в тех же точках v1и v2 – средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2.
Полную удельную энергию потока определяем по формуле (72): сечение 1-1
сечение 2-2
Очевидно
Уравнение (74) называется уравнением Д. Бернулли для потока жидкости и является основным уравнением гидродинамики; с его помощью получены многие расчетные формулы и решается ряд практических задач. Уравнение Бернулли устанавливает математическую связь между основными элементами движения жидкости, т. е. средней скоростью и гидродинамическим давлением.