Гидравлика 2 (стр. 5 из 21)

, (52)

где S – площадь стенки.

Величина этой силы

(53)

зависит от закона распределения давления Р по площади S. При воздействии на S капельной жидкости эти законы могут быть различными. Их конкретный вид зависит от ориентации площадки и действующих на жидкость массовых сил при абсолютном и относительном покое.

Вычислим силу

для плоской стенки, наклоненной к горизонту под углом a и подверженной воздействию тяжелой жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя (рис. 8).

Определим результирующую силу избыточных давлений

, которые создаются внешним избыточным и весовым давлениями. Заменим внешнее давление воздействием эквивалентного слоя жидкости, толщина, которого определяется высотой поднятия жидкости в пьезометре . Таким образом, внешнее давление из рассмотрения исключается, и свободная поверхность СП заменяется пьезометрической плоскостью ПП. Продолжим плоскость стенки до пересечения с пьезометрической плоскостью. Вдоль линии их пересечения направим ось х, а ось у расположим в плоскости стенки. Затем для наглядности повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси у и совместим стенку с плоскостью чертежа.

Величину силы вычислим по формуле (53):

.

В рассматриваемом случае (см. рис. 8) давление

, (54)

что при подстановке в формулу (53) дает

.

Интеграл

представляет собой статический момент площади Sотносительно оси Ох, равный, как известно, произведению S на координату ее центра тяжести.

Поэтому

. (55)

Формула (55) может быть записана в двух видах

, (56)

где

– избыточное давление в центре тяжести площадиS, или

. (57)

Согласно (56) величина силы избыточного давления покоящейся жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на избыточное давление в ее центре тяжести.

Вектор силы

направлен по нормали к стенке S:

,

а линия действия этой силы пересекает стенку в некоторой точке D, называемой центром давления. Для отыскания координат этой точки (

) используем теорему о равенстве момента равнодействующей и суммы моментов составляющих, которая в данном случае выражается уравнением

, (58)

где

и – радиус-векторы соответственно центра давления D и произвольной точки (ху) площади S.

По правилам составления проекций векторного произведения находим

; .

Учитывая выражения (54) и (55), получим

(59)

Более удобные выражения для

и получим, если воспользуемся теоремой о соотношении между моментами второй степени, взятыми относительно параллельных осей

; ,

где

– оси координат, проходящие через центр тяжести С площадки S параллельно осям х и у; и – координаты центра тяжести С в системе xу; – центробежный момент площади S относительно осей х и у ; – момент инерции площади S относительно оси х (см. рис. 8). Окончательно,

; . (60)

Вторая из формул (60) показывает, что центр давления расположен ниже центра тяжести на величину

.

Возвращаясь к формуле (57), заметим, что силу давления в рассматриваемом случае можно получить, складывая независимо вычисленные две силы:

и , где – сила внешнего избыточного давления, – сила весового давления. При таком способе определения силы следует помнить, что линии действия сил и не совпадают, и центр давления D определяется линией действия суммарной силы .

2.4.Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность (

,

) может быть создано тяжелой жидкостью при абсолютном или относительном покое. Элементарные силы

составляют в этом случае самую общую систему, которая должна сводиться к силе давления (46) и моменту (47). Однако существуют частные случаи,, когда система сводится к одной силе давления , например, если линии действия элементарных сил пересекаются в одной точке (сферическая стенка).

Рассмотрим криволинейную поверхность S, находящуюся под воздействием внешнего избыточного давления

и весового давления (рис.9). Как было показано в предыдущем пункте, задачу отыскания силы давления можно расчленить, определяя раздельно силы весового и внешнего давлений. Эту же задачу можно свести к задаче об определении только весового давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного слоя жидкости.

Силу весового давления

определим по ее проекциям. Горизонтальная проекция

,

где

– проекция площадки dS на вертикальную плоскость, нормальную к оси х. Последний интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси y. Следовательно,

, (61)