В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением еще нескольких.
Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.
Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.
Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.
Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
A = { e ∈ R : e2 = e, ex = xe, ∀x ∈ R },
тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f := e + f − ef и e ∧ f := ef.
Принцип двойственности
В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.
Что в свою очередь также указывает на связь булевой алгебры с софистикой, так как в софизмах также используется принцип двойственности.
2.6 Представления булевых алгебр
Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.
Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактноговполне несвязногохаусдорфова топологического пространства.
2.7 Аксиоматизация
В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:
Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.
Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.
Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?
Аксиоматизация алгебры Роббинса:
Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.
Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.
В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.
3 Информатика и кибернетика
Информатика также как и Булева алгебра использует бинарную систему.
Информатика – научная дисциплина, изучающая вопросы, связанные с поиском, сбором, хранением, преобразованием и использованием информации в самых различных сферах человеческой деятельности. Генетически информатика связана с вычислительной техникой, компьютерными системами и сетями, так как именно компьютеры позволяют порождать, хранить и автоматически перерабатывать информацию в таких количествах, что научный подход к информационным процессам становится одновременно необходимым и возможным.
Каждая из составных частей информатики может рассматриваться как относительно самостоятельная научная дисциплина; взаимоотношения между ними примерно такие же, как между алгеброй геометрией и математическим анализом в классической математике – все они хоть и самостоятельные дисциплины, но, несомненно, части одной науки.
Теоретическая информатика – часть информатики, включающая ряд математических разделов. Она опирается на математическую логику и включает такие разделы, как теория алгоритмов и автоматов, теория информации и теория кодирования, теория формальных языков и грамматик, исследование операций и другие. Этот раздел информатики использует математические методы для общего изучения процессов обработки информации.
Информатика изучает методы, связанные с переработкой, хранением и другое информации, а кибернетика что позволяет осуществить эти методы.
3.1 История кибернетики
Впервые термин кибернетика предположительно был употреблён Платоном в смысле искусства управления кораблём или колесницей.
Термин в современном его значении ввёл Норберт Винер, считающийся отцом-основателем кибернетики как отдельной самостоятельной науки. Само слово использовалось и ранее Некоторые задачи кибернетики были поставлены А.А. Богдановым в его организационной науке «тектология», впоследствии забытой современниками.
В СССР в философский словарь 1954-го года издания попала характеристика кибернетики как "реакционной лженауки". В 1960-е и 1970-е гг. на кибернетику делалсь большая ставка, как на техническую, так и на экономическую.
Кибернетика(от греч.kybernetike - "искусство управления", от греч.kybernao - "правлю рулём, управляю", от греч.Κυβερνήτης - "кормчий") — наука об общих закономерностях процессов управления и передачи информации в машинах, живых организмах и обществе.
