302
ного мира. В итоге быстрое развитие наук, требовавших матема-
тической строгости, т. е. высокой точности, четкости и ясности, с
одной стороны, и бурный рост самой математики, усиленная раз-
работка математического инструментария, пригодного для удов-
летворен'^ потребностей естественных, общественных и техни-
ческих наук,— с другой, привели к тому, что с середины XX в.
математизация науки стала универсальным явлением.
Вторая особенность связана с тем, что современное естество-
знание— особенно физика и астрономия—сталкивается в отли-
чие от классической науки с объектами и процессами, которые
нельзя представить и описать наглядно. Наши органы чувств и
связанные с ними механизмы образного мышления на протяже-
нии всей эволюции человека приспосабливались к восприятию
окружающих предметов, с которыми люди практически имели
дело. Естественно, что они оказались непригодными для вос-
приятия микрообъектов, и микропроцессов, как и многих кос-
мических объектов. Слова «элементарная частица», «электромаг-
нитная волна» или «черная дыра» не должны вводить нас в
заблуждение. Сотни элементарных частиц, различные поля, ги-
гантские космические образования, с которыми имеют дело
современные физика и астрономия, совсем не похожи на какие-
либо наглядные частички и волны вроде песчинок и морских волн
или на неосвещенный вход в пещеру. Эти слова означают лишь,
что обозначенные ими объекты ведут себя так, как если бы они
обладали свойствами частиц и волн или поглощали электромаг-
нитное излучение (в случае «черной дыры»). Точнее будет ска-
зать, что их движения и физические особенности хорошо описы-
ваются особыми математическими уравнениями, например урав-
нениями волновыми или уравнениями квантового поля. Потеря
наглядности была воспринята некоторыми физиками как своего
рода катастрофа и нередко вынуждала их отрицать познавае-
мость мира.
Однако быть наглядным и быть познаваемым не одно и то же.
Очень многие явления не только в физике, но и в общественных
науках нельзя представить наглядно. Нельзя, например, увидеть,
услышать, понюхать или потрогать общественные отношения, со-
циально-экономические формации, глубинные грамматические
структуры и т. п. О многих объективных явлениях, о которых мы
можем судить только на основании показаний приборов, что-то
еще можно сказать лишь на языке математики. Поэтому ма-
тематизация целого ряда наук служит теперь не только упроще-
нию, облегчению наших усилий по построению теории, не только
средством, позволяющим до поры до времени рассуждать, не
прибегая к дорогостоящим экспериментам, но и единственно
возможным способом вообще что-либо сказать об изучаемых
явлениях и процессах. Это значит, что для многих отраслей науки
математика является теоретическим языком.
Математизация науки, конечно, может привести к своего рода
математическому идеализму, когда математические конструкции
303
заслоняют от исследователя объективную реальность, а чисто
формальные преобразования становятся чем-то самодовлею-
щим. Однако наука вырабатывает противоядие против отрыва
математических средств выражения знаний от системы мате-
риальных объектов. Чтобы решить, какие именно математические
структуры являются истинными выражениями законов науки, мы,
как и в классическом естествознании, должны получить следст-
вия из исходных уравнений и затем, интерпретировав их с по-
мощью наглядных описаний, проверить их на практике с помощью
наблюдений и экспериментов. Отличие современных математи-
зированных теорий от большинства классических заключается в
том, что уравнения первых непосредственно такой интерпрета-
ции не поддаются.
Третья особенность современной математизации связана с
тем, что ныне естественные, общественные и технические науки
все чаще обращаются к изучению сверхсложных систем, насчи-
тывающих миллиарды элементов, подсистем и связей. Чело-
веческий мозг, несмотря на все его колоссальные творческие
возможности, обычно не в состоянии обеспечить необходимую
скорость и безошибочность при рассмотрении одновременного
взаимодействия всех этих элементов и подсистем. К тому же ни
один исследователь не может обеспечить необходимого объема
памяти и непрерывного анализа поступающих данных на протяже-
нии десятков, а иногда и сотен часов. Для решения задач, воз-
никающих в системных исследованиях, связанных со сложными
научными экспериментами, управлением гигантскими промыш-
ленными предприятиями и т. п., приходится использовать быстро-
действующие ЭВМ. Успех их использования зависит не только
от их технического совершенства, но и от качества математи-
ческих программ, с помощью которых вводится, обрабатывается
и выводится информация и которые управляют работой вычисли-
тельных устройств. Таким образом, математическое программи-
рование — один из самых современных разделов математики —
становится в определенное отношение к теории познания, ибо от
качества программ и их надежности зависит познавательная цен-
ность получаемой на ЭВМ информации.
Четвертая особенность состоит в том, что к математике прихо-
дится прибегать не только при исследовании объектов научного
знания, но и все чаще — для описания и изучения самого науч-
ного знания. Последние процедуры связаны с так называемой
проблемой формализации знания.
Вспомним, что правильно построенная научная теория пред-
ставляет собой систему высказываний, выражающих законы и по-
нятия науки. Высказывания формулируются в языке. Язык не
обязательно рассматривать как привычный, естественный язык,
которым мы пользуемся в повседневной жизни. В качестве
языка может употребляться особая знаковая система, отвечаю-
щая ряду требований. Она должна обладать словарем, т. е. на-
бором символов или знаковых комбинаций, которые обозначают
объекты, свойства и отношения, изучаемые данной наукой.
Должны существовать также четко определенные правила обра-
зования предложений из слов данного языка. Эти правила на-
зываются синтаксисом (от греч. synfaxix— составление). По-
скольку язык служит для передачи информации об изучаемых
объектах и для выработки соответствующих знаний, его слова и
предложения должны иметь значения и смысл. Набор правил,
точно формулирующих способы установления смыслов и значе-
ний, называется семантикой (от греч. semanfilcos — обозначаю-
щий). Словарь, синтаксис и семантика далеко не однозначны в
естественных языках. Но в языках науки, например математики,
физики, химии, биологии, их стараются определить как можно
точнее. Сам словарь этих наук очень специализирован. Например,
такие понятия и термины, как «интеграл», «функция», «матрица»,
имеют точные значения и смысл лишь в математике; термины
«масса», «электромагнитный момент», «спин», «гравитация» и т. п.
строго определены в физике; понятия «вид», «мутация», «био-
ценоз» и пр. специфичны для биологии. Строгость и определен-
ность словаря и грамматических правил — характерная особен-
ность языков науки. Однако по существу дела последние не от-
личаются от естественных языков, на базе которых они возникают
и развиваются.
Особую группу составляют формализованные языки. Такие
языки называются часто искусственными, так как к правилам по-
строения правильных предложений в этих языках добавляются
правила формального преобразования одних правильных предло-
жений в другие. Лучшим примером таких языков могут служить
математические исчисления. Зная соответствующие какому-либо
исчислению исходные предложения (формулы, теоремы) и пра-
вила их преобразования, математик может построить неограни-
ченную последовательность других формул и предложений. При
этом он принимает в расчет прежде всего вид исходных пред-
ложений, их внутреннюю структуру и до поры до времени не об-
ращает внимания на их содержание. Именно поэтому такой спо-
соб развертывания и выведения одних формул из других назы-
вается формальным. Формальное развитие и развертывание ма-
тематических исчислений, разумеется, не может обходиться без
содержательного рассмотрения свойств изучаемых объектов, их
связей и взаимоотношений. Время от времени — в наиболее
сложных ситуациях, при постановке новых проблем — матема-
тики обязательно отдают предпочтение содержательным рас-
суждениям и содержательному анализу. Но после установления
исходных содержательных данных формальные методы исполь-
зуются в качестве мощного средства развития и усовершенст-
вования знаний. Именно эта их сторона и позволяет осуществлять
формализацию теорий.
Та или иная теория — например, физическая — отражает спе-
цифические объекты и поэтому называется объектной. Когда эта
теория достигает высокой стадии развития и сложности, возни-
| 304 |
| 305 |
кают вопросы о том, чтобы ее упростить, избавить от излишних
положений, постулатов и аксиом, от скрытых противоречий, ко-
торые могут со временем проявиться и сделать всю теорию
бессмысленной, непригодной для дальнейшего использования.
Разрешить все эти вопросы содержательным путем очень сложно,
так как для этого надо сравнивать свойства и соотношения объек-
тов, что трудно само по себе и к тому же требует заранее, чтобы
теория, в рамках которой проводится такое сравнение, была
непротиворечивой. Поэтому для разрешения указанных вопросов
прибегают к процедуре формализации объектной теории.