3.В последнее время предложена релевантная (уместная) логика. Она отличается от классической тем, что формально правильные, но «не уместные» логические построения в ней, «отбраковываются». Благодаря этому удается избежать парадоксов, ведущих к заведомо неверным выводам.
4.В рамках многозначных логик все суждения разделяются не на две, а на большее число групп. В трехзначной логике допустимы три типа ответов: «да», «нет» и «может быть». Последний ответ также может быть выражен словами: «не известно», «утверждение бессмысленно» или «бессодержательно». Эти варианты отличаются в основном эмоциональной окраской.
Соответственно увеличивается и число символов. Далее устанавливаются правила (алгоритмы) определения символа сложного суждения, если известны символы, входящих в него простых (исходных) суждений.
5.Так называемая нечеткая логика (фальш-логика, fuzzy logic) отличается от предыдущих существенно. Каждый объект (или каждое суждение) рассматривается в ней не как эталон, а как ансамбль сходных объектов. Вместо однозначных ответов («да» — «нет») используются вероятностные суждения типа: с вероятностью. Р — «да» и с вероятностью 1 — Р — «нет». Разумеется, при этом вводится мера сходства (или различия) объектов. Привлекательность этой логики в том, что она часто (но не всегда) близка к реальности. Недостаток ее в том, что соответствующий ей математический аппарат развит еще недостаточно. Современная математика — язык универсальный, люди им овладели и широко используют. Заменить ее другой математикой равносильно предложению перейти всем на язык эсперанто.
По поводу всех упомянутых вариантов логики можно сделать ряд замечаний.
I. Понятие цели, с которой ставится задача в них отсутствует. Неявно предполагается, что любая логическая задача когда-нибудь, кому-нибудь для чего-нибудь пригодится.
II. Во всех упомянутых вариантах логики рассматривается постановка задачи и ответ (если он существует). В действительности построение суждения (или принятие решения) представляет собой процесс, организованный во времени. Он реализуется либо в мыслительном аппарате человека, либо в компьютере. В логике это обстоятельство ускользает от внимания. Поэтому вопрос об устойчивости логических алгоритмов до сих пор не ставился.
III. В рассмотренных вариантах логики суждения считаются либо абсолютными, либо сильно размытыми (нечеткая логика). В реальности встречаются задачи обоих типов, как требующие точного ответа, так и вероятностного. Выбор какого-либо одного варианта логики означает отказ от решения значительной части задач.
И так, ни один из упомянутых вариантов логики не охватывает весь круг актуальных задач современного естествознания.
Возникает вопрос: как быть?
Можно в реальной жизни и в науке вообще обходиться без логики (как, собственно, и поступает большинство людей). Можно попытаться сделать следующий шаг и предложить логику более близкую к реальности. Такую логику можно условно назвать целесообразной. В ее рамках любое утверждение может быть верным, не верным и бессмысленным, в зависимости от условий задачи и целей ее решения.
Такое предложение может восприниматься негативно, по следующим причинам:
Во-первых, оно низводит логику до уровня прикладных наук и лишает ее ореола божественности и независимости от мирской суеты. Однако именно это обстоятельство позволяет решить наболевшие вопросы и выйти из замкнутого круга бесплодной софистики.
Во-вторых, по звучанию «целесообразная логика» представляется как нонсенс. С первого взгляда кажется, что на любой вопрос можно ответить вопросом: «чего изволите?». Однако в реальных задачах такой ответ, не так уж глуп. Приведем пример. В рамках формальной логики на вопрос: сколько будет 7*7 верен ответ: 7 * 7 = 49 и любой другой ответ не верен. В рамках целесообразной логики столь же верен ответ: 7 * 7 = 50. Именно этот ответ часто используют люди для прикидочных расчетов «в уме», когда требуемая точность невелика.
В конкретных задачах целесообразная логика сводится к какому либо из известных уже вариантов логики. При этом изменяется не структура логики, а правила оценки суждения.
Таким образом, целесообразная логика не претендует на роль новой логической конструкции. Цель ее введения иная, она в том, чтобы определить области применимости известных вариантов логики в естественных науках и сформулировать соответствующие критерии.
Для того, чтобы охватить в единой логической схеме весь круг задач, целесообразно указать меру размытости, обладающую следующими свойствами:
Во-первых, она должна быть конечной, но достаточно малой такой, чтобы при решении устойчивых задач ею всегда можно было бы пренебречь.
Во-вторых, в неустойчивых процессах эта мера должна приводить к полной размытости результата. Это позволяет использовать в таких случаях традиционный вероятностный подход.
С учетом этих замечаний аксиоматику конструктивной логики можно сформулировать в следующем виде.
(1) В каждой задаче должна быть сформулирована цель. Бесцельные задачи квалифицируются как бессмысленные и рассмотрению не подлежат. В этом смысле целесообразная логика перекликается с релевантной. (В недрах чистой науки (в частности, математики) задачи часто ставятся ради удовлетворения любопытства, развлечения, игры ума или упражнения, что также можно рассматривать как цель. (в эволюционном плане это оправдано)
(2) Любой расчет (или алгоритм) следует рассматривать как процесс, организованный во времени, т.е. проводящийся поэтапно. Это позволяет поставить и решить вопрос об устойчивости и/или сходимости в рамках классической математики.
(3) Как и в классической логике, каждому суждению соответствует «0» или «1», но они рассматриваются не как символы а как числа, близкие либо к 0, либо к 1, например, 0,000 ... abc или 1,000 … def, где a,b,c и d,e,f — случайные числа от 0 до 9. Это положение напоминает "fuzzy logic", но, в отличие от последней, требуется, чтобы «размытость» была мала, порядка «обратный гугол».
(4) Если процесс устойчив и сходится к определенному результату, то автоматически сохраняется аксиоматика классической логики (и математики). В этом случае сложное суждение будет «размыто» в ту же меру, что и исходное. Наблюдать такую «размытость» в принципе невозможно.
(5) Если процесс неустойчив, то малая «размытость» исходных суждений приводит к большой (порядка единицы) размытости «сложного» суждения. В результате суждение, «истинное» или «ложное» в рамках классической логики, оказывается ни тем, ни другим, а просто «не целесообразным» (бессодержательным). В математике это ведет к серьезным последствиям, поскольку ряд теорем при этом теряют силу.
(6) Если процесс построения суждения не сходится, то его следует установить на любой итерации порядка гугол.
(7) Целесообразными следует считать средние характеристики ансамбля результатов расчетов неустойчивых и/или не сходящихся процессов. Усреднение проводится по результатам расчетов, отличающихся выбором произвольного числа порядка гугол (или обратный гугол). Результаты расчета каждого отдельного процесса являются не целесообразными. Динамика средних характеристик устойчива по определению среднего и расчет ее подпадает под п. (4).
В рамках этого алгоритма отсутствуют противоречия и неоднозначности, характерные для классического подхода.
Проблема Буриданова осла в рамках целесообразной логики решается просто. Ясно, что положение осла не устойчиво. Согласно п. (3), надлежит рассмотреть ансамбль ослов, расположенных не точно между стогами сена, а в интервале порядка гугол. Согласно п. (7), целесообразным является вопрос: как распределятся ослы в пространстве. Ответ ясен: они разделятся на две равные группы, и одни пойдут направо, а другие — налево. Такое поведение ослов целесообразно, если их цель — не умереть с голоду. Вопрос: куда пойдет каждый отдельный осел ставить не целесообразно. В рамках классической математики при точно заданных начальных условиях, осел останется стоять на месте и умрет. Такое поведение не целесообразно даже с точки зрения осла.
Парадокс лжеца, напомним, состоит в следующем: привратник имеет приказ: правдивым людям рубить голову, а лжецов вешать. Предполагается, что правдивый всегда говорит правду, а лжец всегда лжет.
К городу подходит путник. Привратник вопрошает: «кто ты, правдивый человек или лжец?». Путник отвечает: «я лжец». Что должен сделать привратник?
В рамках классической логики задача решения не имеет, потому и отнесена к разряду парадоксов.
В рамках трехзначной логики любое решение лишено смысла.
В рамках релевантной логики сама задача относится к числу запрещенных.
В рамках целесообразной логики решение состоит в следующем.
В отличие от предыдущего случая, промежуточное состояние исключено, а не просто не устойчиво. Каждое из разрешенных состояний («правдивый» и «лжец») не только не устойчиво, но и не стационарно. Процесс принятия решения состоит из последовательности итераций, каждая из которых приводит к противоположному результату. Этот процесс не является сходящимся. В рамках классической математики такой процесс представляет собой отображение предельного цикла Пуанкаре. Сам цикл устойчив, но фаза цикла неустойчива и может быть выбрана произвольно. В данном случае разрешенные состояния соответствуют противоположным фазам цикла. Таким образом, процесс не соответствует п. (4), но подпадает под п. (6).
Согласно (7) следует усреднить результаты по ансамблю итераций. Усредненный результат можно сформулировать в виде: данный путник в меру лжив и в меру правдив (что, кстати, можно отнести ко всем нормальным людям).
Если цель — определить моральный облик путника, то такой ответ следует считать целесообразным. Напротив, результат любой конкретной итерации (путник либо лжив, либо правдив) следует считать не целесообразным и не применять по отношению к нему упомянутых санкций.