Методика оценки живучести сложных систем военного назначения (стр. 3 из 4)

На примере рассматриваемой системы (рисунок 1) построение орграфа взаимосвязи осуществляется путем установления взаимосвязей между вершинами нижних уровней взвешенных орграфов боеспособности элементов системы (рисунок 3).

Рисунок 3 – Орграф взаимосвязи исследуемой системы

При необходимости детального анализа динамически сложных систем каждой дуге в орграфе взаимосвязи можно придавать определенный тип (цвет), в зависимости от того, какого типа возмущение она способна передавать (информационное, энергетическое и т.п.). Подобное усложнение позволит детализировать анализ, хотя, по сути, не повлияет на адекватность модели. Поэтому, в дальнейшем, при рассмотрении примера, будем считать дуги орграфа однотипными.

Помимо достижения основной цели, построение орграфа взаимосвязи позволит путем выявления на нем висячих и тупиковых вершин выявить неопределенности в распределении задач между элементами системы, уточнить корректность их формулировок при декомпозиции. Орграф взаимосвязи будет являться основой для вычисления коэффициентов значимости существующих взаимосвязей между структурными элементами системы и построении взвешенного орграфа системы.

Построение взвешенного орграфа системы и моделирование внешних воздействий на систему с использованием предлагаемой методики позволяют учитывать при оценке живучести системы влияние изменения возможностей элементов выполнять стоящие перед ними задачи на показатели качественного состояния других элементов, не подвергнувшихся воздействию непосредственно, и способность системы достигать основной цели ее функционирования.

Определение значимости взаимосвязи между элементами системы (связными компонентами орграфа) возможно осуществить исходя из значений весовых коэффициентов дуг

, , орграфов боеспособности элементов, используемых при построении орграфа взаимосвязи. При этом, предлагается вычисление коэффициента значимости взаимосвязи элементов и производить по формуле

Значимой для k-го элемента считается взаимосвязь с элементом

, если из подмножества вершин k-й компоненты орграфа взаимосвязи, принадлежащих низшему уровню иерархии графа боеспособности элемента, выходят n дуг к подмножеству вершин низшего уровня иерархии k-й компоненты орграфа взаимосвязи. Вычисление весового коэффициента значимости, взаимосвязи k-го элемента с m-м элементом осуществляется по формуле (1) для тех вершин k-й компоненты, которые являются окончанием n дуг. При этом

Подобный подход к определению значимости существующих в системе взаимосвязей позволит определить их численное выражение. Из (1) очевидно, что

, т.е. так как в (1) используются весовые коэффициенты орграфа боеспособности структурного элемента системы, являющегося окончанием дуг взаимосвязи двух элементов, то сумма всех взаимосвязей k-го элемента не превысит 1. При этом значение 1 для суммы всех взаимосвязей k-го элемента означает, что его боеспособность целиком зависит от наличия действующих между элементами системы взаимосвязей и качественного состояния взаимосвязанных элементов. Значение 0 – говорит об автономности элемента при решении стоящих перед ним задач или, что одно и то же, об отсутствии взаимосвязи между элементами. В случае, отличном от рассмотренных выше, значение суммы всех взаимосвязей k-го элемента примет вид:

Таким образом, взаимосвязи структурных элементов системы могут быть формализованы при помощи дуг орграфа взаимосвязи, а их значимость определена по правилу (1).

В результате реализации предложенного подхода предоставляется возможность преобразовать орграф взаимосвязи во взвешенный орграф системы. При этом следует считать тождественными понятия: граф (орграф) системы и структура системы, вершина графа и элемент системы, ребро (дуга) графа и связь меду элементами системы, вес вершины и боеспособность элемента.

Для этого связные компоненты орграфа взаимосвязи необходимо стянуть в вершины. Их численность должна соответствовать количеству действующих структурных элементов системы, даже если какой-то из них в орграфе взаимосвязи представлял несколько изоморфных орграфов боеспособности.

Для всякого конечного графа примем обозначение

, где – множество вершин, а – множество его ребер. Орграф моделируемой системы не должен иметь петель.

Построение взвешенного орграфа системы (рисунок 4), рассматриваемой на примере, следует осуществлять с учетом организационной структуры системы (рисунок 1), построенного орграфа взаимосвязи (рисунок 3) и полученных экспертным путем весовых коэффициентов на всех предыдущих этапах реализации методики. Боеспособность всех элементов в начальный момент времени будем считать идеальной, т.е. равной 1.

В общем случае, воздействие, распространяясь по системе, «теряет свою силу» в той степени, насколько менее значима существующая между элементами взаимосвязь.

Рисунок 4 – Взвешенный орграф системы

Таким образом, на орграфе системы

для вершины , соответствующей k-му элементу системы, весовой коэффициент является величиной, характеризующей боеспособность k-го элемента. А весом , , дуги является число , соответствующее значимости действующей между элементами взаимосвязи, которое будет характеризовать сохранившуюся долю передаваемого внешнего воздействия при переходе от вершины к вершине .

Процесс изменения значений коэффициентов боеспособности элементов системы можно отразить следующим правилом внешнего воздействия. Внешнее воздействие

определяется в дискретном времени , которое задается выражением

при

.

Тогда для

для k-й вершины графа Gрезультатом внешнего воздействия будет

полагая при этом, что M – число вершин, смежных k-й, которые являются началом

дуг.

Формулы (2) и (3) задают изменения весов вершин графа

, определяя динамику распространения внешних воздействий по структуре системы.

При этом, в соответствии с (2), внешние воздействие

будет иметь отрицательный знак, если оно влечет снижение боеспособности элемента, и знак «+» – если направлено на восстановление его боеспособности.

Внешнее воздействие на взвешенном орграфе G предлагается определять по правилу (2) с вектором начальных значений

и вектором внешний воздействий , задающим внешнее воздействие в каждой k-й вершине в момент времени . Внешнее воздействие в паре с вектором начальных значений описывает состояние системы в начальный момент времени, когда под влияние внешних воздействий попадают все или часть элементов системы.