Содержание
Введение
Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности
Николай Кузанский о бесконечном
Больцано "Парадоксы бесконечного"
Георг Кантор о бесконечном множестве чисел
Заключение
Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались над противоречивостью этого понятия. Как пишет Ф. Энгельс, "противоречием является уже то, что бесконечность должна слагаться из одних только конечных величин, а между тем это именно так. Ограниченность материального мира приводит к не меньшим противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти противоречия ведет к новым худшим противоречиям. Именно тому,что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности.
В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного числа, обострились после создания в конце XIXв. теории бесконечных множеств и последовавшего вскоре парадоксов этой теории. В то время как многие ученые, не обращая внимания на такие парадоксы, широко используют в своих работах теорию множеств, другие подвергают теоретико-множественные методы в математике жестокой критике. Споры, связанные с теорией множеств, стали еще ожесточеннее после того, как группа французских математиков, пишущих под псевдонимом Николя Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки, опираясь лишь на понятие множества. Эта попытка, восторженно встреченная рядом математиков и оказавшая значительное влияние на развитие науки XXв., подвергалась осуждению со стороны других ученых за излишнюю формализацию, попытку оторвать математическую науку от питающих ее животворных практических приложений.
Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы.
Именно благодаря данной проблеме философия и математика сблизились, так как общей целью этих наук является достижение истинного знания по бесконечной величине. Не случайно же понятие бесконечного исследовалось в работах Больцано и Кантора, которые были как философами, так и математиками. Поэтому данная тема всегда актуальна.
Определившись с темой работы, передо мной возникла цель - исследовать свойства бесконечной величины и сопоставить понятия потенциальной и актуальной бесконечности. Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи: рассмотреть апории Зенона, для доказательства которых он активно применял свойство бесконечной величины; объяснить трактовку бесконечной величины у Кузанского, показать выявленные им свойства бесконечной величины и сопоставить актуальную и потенциальную бесконечность Кузанского; узнать о первом разделении актуальной и потенциальной бесконечности, введенное Аристотелем; а также исследовать свойства бесконечной величины в теориях бесконечных множеств философов - математиков Больцано и Кантора.
Для подготовки работы я активно использовала работы самих философов, а также литературу, содержащую основные положения работ философов и их оценку.
Зенон получил наибольшую известность за создание опорий, в переводе означающих противоречия. Благодаря им почти каждый последующий философ упоминал его имя в своих сочинениях, пытаясь эти опорий опровергнуть или привести доводы в их пользу.
Первая опория: "Величина частей сущего оказывается зараз и бесконечно малой и бесконечно великой. А именно, имея вне себя бесконечное множество всех прочих частей, она составляет бесконечно малую частицу всего; но, с другой стороны, слагаясь сама из бесконечного множества частиц, она представляет величину бесконечно великую" [3, c.8]
Какие же следствия вытекают отсюда? Во-первых, вещей бесконечное множество (так как сущее делимо до бесконечности), и, во-вторых, каждая вещь занимает бесконечное пространство (вследствие бесконечности своих частей). Каждая вещь (как и любая часть ее) оказывается бесконечно великой по протяжению, сущее же, как совокупность всех вещей, будет бесконечным множеством бесконечно больших пространственных величин.
С другой стороны, каждая частица бесконечно мала, так как она отделена от всякой другой частицы бесконечным множеством частиц. Если отделить ее от всех других частиц, то она сама вовсе не будет иметь частей и величины. Дейссен "исправляет" первую антиномию Зенона следующим образом: "Тело, состоящее из множества частиц, было бы 1) бесконечно малым и 2) бесконечно большим. Оно было бы бесконечно малым, так как его можно делить до бесконечности: оказывается, что тело состоит из суммы бесконечно малых частиц; сумма же бесконечно малых частиц может дать лишь бесконечно малое. Тело было бы бесконечно большим, так как при беспрерывном делении мы получим, наконец, бесконечно много частиц; если из последних мы станем слагать тело, то, сколько бы их мы ни взяли, всегда будет оставаться еще бесконечное множество их, таким образом, вследствие того, что число их неисчерпаемо, мы можем увеличивать тело до бесконечной величины." [3, c.10].
Переходим ко второй антиномии. "Если допустить существование многих вещей, то окажется, что:
1) вещей конечное число (тезис) и 2) вещей бесконечное число (антитезис). Ход аргументации сводится к следующему. Тезис: Если существует множество вещей, то их столько, сколько есть, не больше и не меньше. Следовательно, они существуют в определенном (ограниченном) количестве. Антитезис: Если вещей много, то их должно быть бесконечное число. В самом деле, допустим существование только двух вещей. Между двумя вещами необходимо должна лежать какая-либо третья вещь, их разделяющая, между последней и первыми опять новые вещи, и так далее до бесконечности. В противном случае, две смежные вещи слились бы в единство, образовывали бы одну вещь (а не две). Таким образом, двух не существует без трех, трех без пяти, пяти без девяти и так далее до бесконечности (так как число разделяющих вещей оказывается равным бесконечному ряду 1, 2,4,8,16 и т.д.)" [3, c.12]. В первой и второй антиномии Зенон рассматривает понятия единицы, конечного количества и количественной бесконечности. Диалектика числа у Зенона дает следующие результаты: единица = нулю, нуль = бесконечному числу, конечное количество (два) = бесконечному числу, часть = целому. Таким образом, понятие числа противоречиво, его применение незакономерно с точки зрения разума, число должно быть отнесено к области мнения и иллюзии.
Против пространства Зенон дает и специальное доказательство: "Все существующее находится где-нибудь, то есть в пространстве. А если так, то и само пространство, чтобы существовать, тоже должно находиться где-нибудь, т.е. в другом пространстве. Это второе пространство в свою очередь должно находиться в третьем пространстве, третье в четвертом и так далее. Таким образом, получим пространство пространства и т.д. до бесконечности. Следовательно, приходится или признать бесконечное число пространств, заключенных одно в другом, или же совсем отрицать существование пространства" [3, c.14].
Как аргумент против пространства, так и аргумент против истинности чувственного восприятия заключают в себе опровержение множественности вещей. Аргумент против реальности чувственного восприятия известен под названием "пшенного зерна". В беседе с Протагором Зенон указывает: "между тем, как ни одно целое зерно, ни одна десятитысячная часть зерна при падении не издают звука, медимн пшена, падая, производит шум. Так кажется нам согласно свидетельству внешних чувств; однако разум требует, чтобы мы приняли что-либо одно: или и одно зерно и одна десятитысячная часть зерна при падении тоже издают звук, или и медимн пшена не производит шума. Ведь, в противном случае, мы получим, что сумма нулей равна не нулю, а некоторой положительной величине" [3, c.17].
Наибольшей известностью пользовались всегда Зеноновы доказательства против движения, которых до нас дошло пять:
1) доказательство общего характера,
2)"дихотомия",
3)"Ахиллес",
4)"стрела" и 5)"стадий".
Первое доказательство против движения весьма кратко: "Движущийся предмет не движется ни в том месте, где он находится, ни в том, где его нет"
[3, c.21]. На вопрос, где происходит движение, должно ответить: нигде, так как тело не может двигаться там, где его нет; с другой стороны, занимая всегда пространство, равное своему объему, оно не может двигаться в этом месте, но покоится в нем.
Сущность доказательства, известного под названием "дихотомии", сводится к признанию невозможности движения на том основании, что движущийся предмет, прежде чем достигнуть какого-либо места, должен предварительно пройти половину пути, половину половины и так далее до бесконечного числа раз. Невозможно пройти бесконечное в конечное время.
Доказательства этой апории (как и ряд других его аргументов) покоится на невозможности представить себе законченной бесконечность. Пусть время и пространство одинаково бесконечно делимы: переход от одного пункта к другому делается через это вдвойне неосуществимым. Мы получаем бесконечное количество пространственных точек, с одной стороны, моментов времени, с другой. Но мысль не может представить себе законченность бесконечного: непонятно, как может быть осуществлено бесконечное число актов движения, как может быть последовательно быть занятым бесконечное число положений в пространстве, и как может, наконец, придти к концу бесконечное число моментов времени. Поэтому рассматриваемое нами доказательство Зенона скорее лишь упрощает условия реализации движения, выдвигая лишь один момент - бесконечную делимость пространства.