"Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность бесконечного множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого бесконечного множества А есть бесконечное множество, мощность которого больше мощности А. Этим множеством является, например, бесконечное множество В всех функций, заданных на бесконечном множестве А и принимающих значения 0 и 1.
Итак, для любого множества А можно построить множество В большей мощности. Поэтому бесконечного множества самой большой мощности не существует. Отправляясь от самой малой из бесконечных мощностей - мощности бесконечного множества натуральных чисел, мы получим сначала мощность континуума, потом мощность бесконечного множества всех функций, заданных на множестве действительных чисел, и будем без конца подниматься вверх по этой головокружительной лестнице все увеличивающихся бесконечных мощностей" [5, c.71-72].
Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным". Оно выступает в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, "потенциально бесконечное" есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это - "понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова. Оно "не означает само по себе никакой идеи". Кантор тут же оговаривается, что и в этом своем смысле - как понятие отношения - потенциально бесконечное "благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания." (5, с.84).
Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности "дурной бесконечностью" и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде "несобственно-бесконечного", принесли весьма большую пользу, так как они "доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых и в теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин" (5, с.80). Но как бы ни была велика ценность для науки "потенциальной бесконечности", эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной - то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.
Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно "мыслить. бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке". Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть "собственно-бесконечным" или "актуально бесконечным".
Под актуально бесконечным в отличие от потенциально бесконечного Кантор понимает "некоторое замкнутое в себе постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин, количество." (5, с.85). Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Пример актуально бесконечного - совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, "некоторая вещь для себя и образует - отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел - некоторое неизменное во всех частях и определенное количество., которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество".
В свою очередь внутри сферы актуально бесконечного Кантор различил две его формы. Это - "трансфинитное" актуально бесконечное и абсолютное. По мысли Кантора, эти формы актуально бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует мыслить "бесконечным, но в то же время доступным еще увеличению". Напротив, абсолютное "следует мыслить недоступным увеличению и поэтому математически неопределимым" (16, 86). Согласно Кантору, предмет математики - только трансфинитное бесконечное. В качестве идеального предела конечного можно мыслить не абсолютное, а лишь трансфинитное, "и притом как минимум всего трансфинитного (соответствующий наименьшему сверхконечному числу.)" (16, 87). Число это Кантор обозначил посредством греческой буквы "омега".
Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к "потенциальной бесконечности", к "несобственно-бесконечному". Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам "собственно-бесконечного", или к "актуальной бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем "не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам".
Новое понятие актуальной бесконечности было введено в математику Георгом Кантором. Канторовская бесконечность - актуальная бесконечность, не являющаяся исчисленным неисчислимым множеством. Исходная идея Кантора - это задание множества по содержанию. Множество может быть задано перечислением всех входящих в него элементов. Бесконечное множество не может быть задано таким способом. Но множество можно задать иначе, указав некоторые признаки, которыми должны обладать все элементы множества. Подобным образом, по содержанию, может быть задано и бесконечное множество.
Георг Кантор разделил потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида". Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным".
Кантор вводит также арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. Для бесконечных мощностей он установил и операцию возведения в степень с бесконечным показателем. Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного, а также свойства конечных и бесконечных множеств различны. Георгу Кантору принадлежит появление трансфинитных чисел, он ввел понятие мощность бесконечного множества, разделил счетные и несчетные бесконечные множества, ввел для бесконечных множеств взаимнооднозначное соответствие, что позволило оперировать этими понятиями. Георг Кантор - величайший математик, проливший свет в тайны бесконечного, он сделал наибольшее число открытий в этой области и поэтому велика его роль как в математике, так и в философии.
Понятие бесконечной величины таинственное и загадочное с одной стороны, манящее и привлекающее своей неизученностью с другой. Философы издавна задумывались о существовании бесконечности, рассматривали ее с различных сторон, но мало кто исследовал бесконечную величину и ее свойства.
Одними из первых, кто употребил бесконечную величину в своих работах, были основатели атомизма Левкипп и Демокрит. Они ввели неделимую частицу вещества - атом и полагали, что число атомов бесконечно. Атомы бесконечно разнообразны по форме и, двигаясь в бесконечном пространстве, сталкивались между собой и, соединяясь образовывали сложные тела. Но Левкипп и Демокрит употребили бесконечную величину для построения своей философской картины мира и не исследовали ее свойства.
Зенон уже использовал свойство бесконечной величины к беспредельному увеличению, то есть применял свойство потенциальной бесконечности при доказательстве своих знаменитых опорий против движения, времени, скорости, пространства и точки.
Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным". Разделение актуальной и потенциальной бесконечности есть главная заслуга Аристотеля в этой области.