В работе "Исследование законов мысли", которая оказала большое влияние на развитие логики, Буль ввел в логику классов в качестве основных операций сложение (" + "), умножение ("х" или возможен пропуск знака) и вычитание (" - "). В исчислении классов сложение соответствует объединению классов, исключая их общую часть, а умножение - пересечению. Вычитание Буль рассматривал как действие, противоположное сложению, - отделение части от целого, то, что в естественном языке выражается словом "кроме".
Буль ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака " =", соответствующего связке "есть". Суждение "Светила есть солнца и планеты" в виде равенства им записывается так: х = у + г, откуда следует, что х - г = у. Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, можно переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Буль открыл закон коммутативности для вычитания (х - у= - у + х) и закон дистрибутивности умножения относительно вычитания (г (х-у) = гх - гу). Он сформулировал общее правило для вычитания: "Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем складывать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре".
Предметом исследования ученого были также высказывания (в традиционной логике их называют суждениями). В исчислении высказываний, по Булю, сложение (" + ") соответствует строгой дизъюнкции, а умножение (" х" или пропуск знака) - конъюнкции.
Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не распределен, он вводит термин V для обозначения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например "Некоторые люди не являются благоразумными", Буль сначала представляет его в форме "Некоторые люди являются неблагоразумными", а Затем выражает в символах обычным способом.
Диалектика соотношения утверждения и отрицания в понятиях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения, и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: "Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апостериори, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание возможности утвердительного рассуждения".
Различая живой разговорный язык и "язык" символический, Буль подчеркивал, что язык символов лишь вспомогательное средство для изучения человеческого мышления и его законов.
Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848-1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по математической логике "Исчисление понятий" он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в "Основаниях арифметики", книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получила широкую известность. Здесь Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно поставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например, понятие "вершина треугольника" равночисленно понятию "сторона треугольника", и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия "вершина треугольника".
Если Лейбниц только наметил программу сведения математики к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, т.е. произвел некоторую математизацию логики. Символические обозначения, принятые им, очень громоздки и поэтому мало кто полностью прочитал его "Основные законы арифметики". Сам Фреге особенно и не рассчитывал на то, что его произведение найдет читателей. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики в первой половине XX в. В этом произведении Фреге писал: "В моих "Основаниях арифметики" (1884) я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об "Основных законах арифметики". - А. Г.) это должно быть подтверждено тем, что простейшие законы арифметики здесь выводятся только с помощью логических средств". Итак, Фреге полагал, что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подозревал, однако, что построенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел.
В послесловии к "Основным законам арифметики" Фреге писал по этому поводу: "Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ его здания оказывается пошатнувшейся. В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу". Противоречием, которое обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств.
Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле постоянного, строго фиксированного множества, не содержащего в себе никакой неопределенности или расплывчатости. Ведь именно через этот объем он и определил основное понятие математики: понятие числа.
Вслед за Г. Фреге очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Бертран Рассел (1872 - 1970). Он также автор ряда работ из области истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, социологии и др. Труды Рассела в области математической логики оказали большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логиком и математиком А. Уайтхедом Рассел разработал оригинальную систему символической логики в фундаментальном трехтомном труде "PrincipiaMathematica". Выдвигая идею о сведении математики к логике, Рассел считает, что если гипотеза относится не к одной или нескольким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в которой мы никогда не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, верно ли то, что мы говорим.