Другим подходом к построению математической логике является - содержательный, то есть неформальный. В этом случае аксиомы и дедуктивные средства явным образом не определяются (то есть постулаты в таком построении теории используются интуитивно). Примером содержательно построенной математической логикой является алгебра логики – алгебра высказываний А1=<{U, L}, ù, Ú, Ù, > и алгебра предикатов А2=< F, ù, {U, L}2®{U, L},",$ > (где F – множество предикатных формул, ù - символ отрицания, {U, L}2®{U, L} – бинарные логические связки, " - квантор всеобщности, $ - квантор существования).
Содержательная надстройка современных теорий строится на основе точно заданного концептуального базиса нечетко определенных дедуктивных средств.
Необходимым, но недостаточным условием научной состоятельности теории является ее внутренняя непротиворечивость.
Логические исчисления являются важнейшей разновидностью формальных систем F.S. От других формальных систем (например, интегрального и дифференциального исчисления) логические исчисления отличаются чисто логическим пониманием правильно построенных языковых выражений FÍA* и правил вывода P: (F1, F2,…, Fn, Fn+1) Ì Fn+1.
На основе логических исчислений строятся (путем присоединения некоторых дополнительных аксиом) прикладные исчисления.
Для всякого логического исчисления важное значение имеет вопрос о его непротиворечивости, независимости, полноте, разрешимости.
Говорят, что всякая интерпретированная формальная система (то есть когда L=<A, S1, S2>) представляет собой формализованный язык, в котором заданы S1 - правила синтаксиса и S2 - правила семантики (интерпретации). Именно в этом плане изучаемые в курсе исчисления высказываний Áв и предикатов Áп являются интерпретированными логическими формальными системами (или логическими языками). Примером интерпретированных прикладных логико-математических F.S. (или логико-математических языков) являются различные аксиоматико-дедуктивные теории множеств.
F.S. есть порождающая процедура (то есть аксиоматико-дедуктивный способ индуктивного порождения элементов множества из исходных объектов, рассматриваемых как аксиомы, или разрешаемое подмножество Ax Ì F), а интерпретация, как метод, является распознающей процедурой (то есть способом распознавания принадлежности объекта заданному множеству).
Правила вывода P формальной системы < L, D > есть конечное множество вычисляемых (разрешающих) отношений на множестве языковых выражений FÌA*.
Рассмотрим примеры формальных систем F.S., несвязанных с логическими интерпретациями.
Пример 1. Пусть F.S.= <A, S, Ax, P> есть описание (интерпретация) игры в шахматы, то есть F.S. описывает множество допустимых шахматных позиций. В этом случае алфавит А состоит из 64 клеток доски, занятые фигурами и свободные; синтаксические правила S порождают множество допустимых позиций F; аксиомой (единственной) Ax является исходная шахматная позиция; правилами P являются правила, определяющие следующие ходы (чередование ходов белых и черных фигур, правила взятия фигур, рокировки, допустимого хода фигур на свободные клетки) и заключительные позиции – ничейные, матовые.
Пример 2. Фраза русского языка описывается F.S., алфавит которой А – алфавит русского языка, S – грамматические правила построения слов русского языка F, аксиомы Ax – слова фразы, а правила вывода P, то есть правила построения фразы из слов – правила синтеза фраз в грамматике русского языка.
Задание
Найти имена, подчиненные по отношению к следующим:
вуз, книга, металл, понятие.
Имена находятся в отношении подчинения, если объем одного полностью включает в себя объем другого, но не совпадает с ним.
Найдем имена, подчиненные по отношению к следующим:
1) вуз
подчиненные имена: студент вуза, преподаватель вуза;
2) книга
подчиненные имена: художественная книга, книга по математике, старая книга;
3) металл
подчиненные имена: сплав из металла, изделие из металла;
4) понятие
подчиненные имена: математическое понятие, четкое понятие, единичное понятие.
Список использованных источников
1. Берков В.Ф., Яксевич Я.С., Павлюкевич В.И. Логика. – Мн., 2002.
2. Берков В.Ф. – Логика. Задачи и упражнения. – Мн., 2000.
3. Гетманова А.Д. Логика. – М., 1995.
4. Ивин А. По законам логики. – М., 1983.
5. Карлюк А.С., Терлюкевич И.И. Введение в формальную логику. – Мн., 1993.
6. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. – М., 1995.
7. Краткий словарь по логике. – М., 1991.
8. Кэролл Л. Логическая игра. – М., 1991.
9. Петров Ю.А. Азбука логического мышления. – М., 1991.
10. Терлюкевич И.И., Иванова Л.П., Логовая Е.С. Логика. – Мн., 1998.
11. Малыхина Г.И. Логика. – Мн., 2002.