Символически импликация записывается А→ В (если А, то В).
Логическое значение представлено в таблице истинности:
| А | В | А→ В |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
Анализ свойств импликации показывает, что истинность антецедента является достаточным условием истинности консеквентна, но ненаоборот. Достаточным для некоторого явления считается такое условие, наличие которого непременно вызывает это явление. Например, «быть березой» достаточное условие, чтобы включить ее в класс деревьев, так как все березы – деревья и ни одна не береза не является деревом.
В то же время истинность консеквентна является необходимым условием истинности антецедента, но недостаточным. Необходимым для явления считается такое условие, без которого оно (явление) не имеет место. Например, класс берез включен в класс деревьев, но не равен ему. Есть деревья, которые не являются березами. Однако условие «быть деревом» для березы является обязательным, так как все березы – деревья.
Парадоксы материальной импликации
Так обозначается смысловое расхождение операции материальной импликации с ее символической формулой: А→В. Согласно материальной импликации истинность А, для истинности формулы А→В, необходимо, чтобы и В было истинно. В этом случае речь идет о содержательном понимании ложности и истинности высказывания. Однако формула А→В истинна не только в указанном случае, но и тогда, когда А – ложно, а В – истинно и тогда, когда они оба ложны. Из данного факта вытекает парадокс материальной импликации: из ложного высказывания следует любое высказывание, все что угодно и истинное высказывание следует из любого высказывания.
Суждения эквивалентности
Эквивалентность – сложное суждение, которое принимает логическое значение истины тогда и только тогда, когда входящие в него суждения обладают одинаковым логически значением, т. е. одновременно либо истинны, либо ложны.
Логический союз эквивалентности выражается грамматическими союзами «тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный».
Символически эквивалентность записывается А«Вили АºВ («если и только если А, то В»).
Логическое значение эквивалентности соответствует таблице истинности:
| А | В | А«В |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | И |
Эквивалентное суждение со связанными по содержанию членами выражает одновременно условие достаточное и необходимое: (А→ В)˄(В→ А).
Равносильность выражений (А«В) и (А→ В)˄(В→А) может быть доказана с помощью таблицы истинности.
Отрицание
Отрицание – это логическая операция, с помощью которой из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение Pпревращается в сложное, и если исходное простое суждение истинно, то новое сложное суждение ложно – «неверно, что P» или «высказывание А ложно тогда, когда высказывание А¯ истинно»
| А | А¯ |
| И | Л |
| Л | И |
Двойное отрицание – это операция по отрицанию отрицательного суждения. Повторное отрицание ведет к утверждению или, иначе, отрицание отрицания равносильно утверждению: А→ А˭– «если А, то неверно, что не-А», или А˭ºА – «неверно, что не-А, если и только если верно, что А».
| А | А¯ |
| И | И |
| Л | Л |
Выражение одних логических связок посредством других
Рассмотренные выше логические союзы взаимозаменяемы и выразимы через другие. Например:
А→ В= А˅В – импликация через дизъюнкцию
А→ В = В→ А – импликация через импликацию
А→ q= А˄ В – импликация через конъюнкцию
А˄В= А˅ В – конъюнкция через дизъюнкцию
А˅В= А˄ В – дизъюнкция через конъюнкцию
А˄В= А˅ В – конъюнкция через дизъюнкцию
Таблицы истинности
Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию, и значениями функции.
| А | В | А¯ | В¯ | А˄В | А˅В | А→В | А«В |
| И | И | Л | Л | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л | И | Л | Л |
| Л | И | И | Л | Л | И | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | Л | И | И |
Таблицы истинности находят широкое применение для
· Вычисления истинности сложных высказываний;
· Установления эквивалентности высказываний;
· Определения тавтологий.
Равносильные формулы логики высказывания – это выказывания, которые принимают одинаковое значение истинности при одних и тех же значениях элементарных высказываний, входящих в эти формы. Например, А→В, В¯→А¯
Тождественно-истинная формула (тавтология) – это формула, которая принимает значения истины при всех значениях, входящих в нее элементарных высказываний
Тождественно-ложная формула (противоречие) – формула, которая при всех значениях, входящих в нее элементарных высказываний, принимает значение лжи.
Пример:
(А¯˅ В)→(А˄В)
| А | А¯ | В | А¯˅ В | А˄В | (А¯˅ В)→(А˄В) |
| И | Л | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | Л | И |
| Л | И | И | И | Л | Л |
| Л | И | Л | И | Л | Л |
Список использованной литературы
1. М.Д. Купарашвили, А.В. Нехаев, В.И. Разумов, Н.А. Черняк «Логика. Учебное пособие», Омск, 2005.
2. Гладкий А.В. «Введение в современную логику», МЦМНО, 2001.
3. Челпанов Г.И. «Учебник логики», Москва, 1897.