Выбор оптимального портфеля ценных бумаг инвестиционным отделом "ПриватБанка" (стр. 11 из 15)
3.7 Выбор оптимального портфеля ценных бумаг с помощью шкалы Саати
Необходимо выбрать такой оптимальный портфель ценных бумаг, который удовлетворял бы двум показателям:
- эффективность портфеля не менее 8%;
- риск портфеля не более 0,71%.
Основная цель: выбор и покупка портфеля ценных бумаг, который бы удовлетворял всех экспертов банка.
Сложность заключается в том, что различные факторы и показатели имеют разную квалиметрическую основу и имеют различную размерность.
МАИ при построении единой шкалы для различных компонент проблемы использует меру (степень) влияния каждого фактора одного уровня на факторы верхнего уровня на конечную цель. Эта мера образуется в результате высказывания суждений о степени влияния (важности этих факторов).
Известный американский специалист по системному анализу Т. Саати предложил шкалу относительной важности (значительности, предпочтения), представленную в табл. 3.12.
Таблица 3.12. Шкала относительной важности Саати
| Определение предпочтения одного объекта перед другим | Мера важности, значимости предпочтения |
| Равная важность (значимость). Нет предпочтения | 1 |
| Слабое превосходство по важности (значимости)Слабое предпочтение | 3 |
| Существенное или сильное превосходство по важности (значимости). Сильное предпочтение | 5 |
| Очень сильное или значительное превосходство по важности (значимости). Очень сильное предпочтение. | 7 |
| Абсолютное превосходство. Абсолютное предпочтение | 9 |
| Промежуточная оценка меры важности между соседними значениями. | 2,4,6,8 |
Выбор девяти бальной шкалы основан на психометрических свойствах человека, которые хорошо позволяют проводить качественные сравнения свойств объектов по следующим уровням: нет различия, слабое различие, сильное различие, очень сильное различие, абсолютное различие. Учитывая компромиссные оценки, получаем девять степеней различия.
Кроме того, в психологии существует понятие психологического предела, способности человека одновременно различать какое-то число пределов по какому-либо свойству. Этот предел равен 7±2, т.е. для создания шкалы, по которой эти пределы будут различаемы, необходимо 9 точек.
Для этих целей применяются метод парных сравнений. Если для сравнения выбрано n(А1, А2,…, Аn) объектов, то результаты сравнений заносятся в квадратную n – мерную матрицу вида (табл. 3.13).
Таблица 3.13. Матрицапарныхсравнений
| A1 | A2 | … | Aj | … | An | |
| А1 | a11 | a12 | … | a1j | … | a1n |
| А2 | a21 | a22 | … | a2j | … | a2n |
| … | … | … | … | … | … | … |
| Аi | ai1 | ai2 | … | aij | … | ain |
| … | … | … | … | … | … | … |
| Аn | an1 | an2 | … | anj | … | ann |
Элементом этой матрицы аij является мера предпочтения Аi объекта по сравнению с Аj объектом. Таким образом, i-я строка матрицы показывает меру предпочтения i-го объекта над другими (n-1) объектами n над самим собой. Мера предпочтения выражается экспертом в шкале Саати и принимает значения от 1 до 9, если объект Аi предпочтительнее или более важен чем объект Аj. В случае, когда i=j, мера предпочтения равна 1, то есть диагональные элементы матрицы парных сравнений всегда равны 1. Следует учитывать, что для матрицы парных сравнений выполняются следующие условия:
Это означает, что если по шкале Саати объект Аi предпочтительнее Aj и аij=5, по мере предпочтения Аj объекта по отношению к Аiт.е.
.Таким образом, экспертом заполняется только верхняя над диагональная часть матрицы парных сравнений (заштрихованная) и матрица приобретает следующий вид (например для четырёх сравнительных объектов) (табл. 3.14)
Таблица 3.14. Преобразованная матрица парных сравнений
| А1 | А2 | А3 | А4 | |
| А1 | 1 | а12 | а13 | а14 |
| А2 | 1/а12 | 1 | а23 | а24 |
| А3 | 1/а13 | 1/а23 | 1 | а25 |
| А4 | 1/а14 | 1/а24 | 1/а34 | 1 |
Экспертная оценка сравнительной важности объектов может осуществляться в двух ситуациях. Первая ситуация имеет место, если свойства сравниваемых объектов имеет одну природу и одинаковые единицы измерения. Тогда если мера свойств Аi равна
, а мера объекта Аj равна 
, то мера предпочтения объекта Аi по сравнению с объектом Аj равна 
.Матрица предпочтений сформирована для такой ситуации является согласованной.
В общем случае над согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных, все другие данные могут быть логически получены из них. Если сравнивается n объектов, то достаточно (n-1) суждения, в которых сравниваемые объекты представлены, по крайней мере, один раз.
Пусть
– оптимальный портфель Марковица заданной эффективности и минимального риска; 
- оптимальный портфель Марковица максимальной эффективности и заданного риска; 
- оптимальный портфель Тобина заданной эффективности и минимального риска; 
- оптимальный портфель Тобина максимальной эффективности и заданного риска; 
- оптимальный портфель Марковица заданной эффективности и минимального риска с учетом финансового рынка; - оптимальный портфель Марковица максимальной эффективности и заданного риска с учетом финансового рынка;Сравниваемые портфелей ценных бумаг могут быть оценены только по шкале Саати.
Анализ результатов экспертных оценок заключается в математической обработке матрицы суждений с целью получения вектора приоритетов сравниваемых объектов. С математической точки зрения задача сводится к вычислению компоненты главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов (табл. 3.15).
Таблица 3.15. Расчет главного вектора приоритетов
| A1 | A2 | … | An | Главный собственный вектор | Вектор приоритетов | |
| А1 | a11 | a12 | … | a1n | V1 | P1 |
| … | … | … | … | … | … | … |
| Аn | an1 | an2 | … | ann | Vn | Pn |
Компонента главного собственного вектора вычисляется как среднее геометрическое значение в строке матрицы:
 | (3.17) |
Компонента вектора приоритетов вычисляется как нормированное значение главного собственного вектора:
 | (3.18) |
Составим матрицу суждений для шести портфелей ценных бумаг с целью получения вектора приоритетов сравниваемых объектов (табл. 3).
Таблица 3.16. Матрица парных сравнений шести портфелей ценных бумаг:
| | | | | |  | Главный собственный вектор,  | Вектор приоритетов,  | |
| | 1 | 1/3 | 1/2 | 1/5 | 1/4 | 1/5 | 0,33 | 0,04 |
| | 3 | 1 | 3 | 1/2 | 1/4 | 1/6 | 0,76 | 0,08 |
| | 2 | 1/3 | 1 | 1/3 | 1/2 | 1/7 | 0,5 | 0,06 |
| | 5 | 2 | 3 | 1 | 1/3 | 1/6 | 1,09 | 0,12 |
| | 4 | 4 | 2 | 3 | 1 | 1/7 | 1,55 | 0,17 |
| | 7 | 6 | 7 | 6 | 7 | 1 | 4,81 | 0,53 |
Анализ полученных данных показал, что портфель ценных бумаг максимальной эффективности доминирует над остальными, следовательно, необходимо покупать 29% акций Центрэнерго и 71% акций компании «Укрататнафта».