Последнее требует подчеркнуть еще раз тот исторически и логически обусловленный момент, о чем мы говорили выше, когда теоретическим мышлением была верно увидена и выделена диалектика качества, количества и меры предмета физики - физической реальности, теперь уже ставшей, благодаря этому, наиболее познанным аспектом материальной действительности, тот момент, который полагает и утверждает принципиальную, связь математической и физической наук, а следовательно, позволяет отметить обоюдное место и роль в генезисе того и другого.
Здесь, прежде всего, не претендуя на всеохватываемость и полноту конкретизации, мы должны указать на первостепенную значимость всеобщего, методологического принципа единства, которому подчинено развитие всей разветвленной, сложной системы математического знания. Остановимся на его характеристике несколько подробнее, так как этот вопрос, во-первых, прямым образом связан с методологическими принципами математики, во-вторых, имеет самое непосредственное отношение к вопросу об интегративной функции математики в научном познании, в частности в физике. В самом деле, если математика не является единой наукой, то как можно говорить о ее интегративном характере? В этом случае математика уже не может объединять научное знание, поскольку она сама не является единой наукой.
К раскрытию принципа единства математического знания можно подойти с разных позиций. Нам же важно рассмотреть математику в аспекте диалектического единства ее внутренней дифференциации и интеграции. Важно понять, что развитие математики (как и любой другой науки) происходит не только за счет дифференциации, т.е. возрастания числа узкоспециализированных дисциплин, но и в процессе интеграции, т.е. обратного движения этого знания к единству.
Вообще говоря, это - единый, взаимосвязанный процесс. Дифференциация научного знания характеризуется углублением специализации исследований, возникающих как в результате дробления первоначально единой научной теории, так и на стыках пограничных областей знания. Благодаря дифференциации растет объем научного знания, что создает предпосылки для последующего его синтеза. В то же время интеграция знания охватывает его под определенным углом зрения, обеспечивая новый уровень понимания единого предмета науки. На этом основании создаются условия для последующего, более глубокого уровня членения предмета науки, т.е. возникновения новых научных теорий.
Данной логической схеме подчиняется и развитие современной математики. Особенно ярко эта тенденция высветилась с конца XIX в., т.е. с момента перехода математики на фундамент теории множеств. Для математики Древней Греции и математики Нового времени не характерна такая бурная дифференциация знания, как для современного состояния этой науки. Математика античности - это арифметика и геометрия, исследующие постоянные величины. Здесь, как известно, математика носит еще неразвитый, единый, синкретичный характер, хотя деление на арифметику и геометрию создаст предпосылки для последующей дифференциации. Последнее связано с тем, что эти разделы математической науки реализовали дискретное и непрерывное начала математики. Что касается математики Нового времени, то хотя она и стоит на качественно более высоком уровне развития по сравнению с древней, однако и в ней процесс дифференциации не зашел далеко. Число математических наук здесь больше, однако главное место занимает дифференциальное и интегральное исчисление, а остальные дисциплины выступают как разновидности этого исчисления.
Бурный процесс дифференциации и, следовательно, интеграции математического знания начался с переходом математики на теоретико-множественное основание. Теория множеств создала мощный метод познания количественных отношений объективной действительности. Однако применение этого метода привело не только к парадоксам, но и к возникновению представления об утере математикой своего единого характера, т.е. единый предмет математики как бы распадается на части. Все же это не так. Генезис математического знания характеризуется неразрывным единством концептуальной преемственности понятий и принципов, взаимопроникновением новых идей между взаимодействующими теориями, приводящими к созданию новых фундаментальных теорий, которые являются более глубоким отражением сущности изучаемого объекта, благодаря высокой степени абстракции.
Сказанное, например, в полной мере относится к одной из наиболее развитых областей математики - функциональному анализу. Возникновение его и оформление в самостоятельную дисциплину стало возможным благодаря обобщению и систематизации определенных положений из различных областей математики и созданию общих объединяющих теорий, охватывающих с единых позиций параллельные построения из математического анализа, алгебры, геометрии, а именно: линейные дифференциальные уравнения и многочлены, теорию интегральных уравнений и теорию систем линейных уравнений, ортогональные ряды функций и разложение вектора по ортогональным осям и др. Функциональный анализ, объединив в себе различные абстракции из математического анализа, алгебры, геометрии, наиболее полно и емко отразил единство и общность математической науки.
Несомненно, существование и действие принципа единства является далеко не единственным детерминантом развития математического знания. Осуществление самих процессов дифференциации и интеграции внутренне связано с логическими закономерностями движения и структурного преобразования математики как целостной системы. Такими логическими закономерностями, формами эвристического взаимодействия математических теорий являются тесно связанные между собой, взаимодополняющие друг друга диалектико-логические принципы перманентности, соответствия, конфронтации и т.д. Их сущность, методологическая роль в развитии математического знания глубоко исследована с позиции диалектико-логического анализа в ряде философских работ. Здесь мы подчеркиваем что только на основе всеобщего принципа единства исторического и логического марксистской теории познания можно адекватно осмыслить объективные и субъективные основания, формы проявления, сущность, диалектику методологических принципов математики. Генезис математического знания, предоставляющий обширный фактический материал, показывает, что осуществление этих логических регулятивов охватывает все области данной науки, логически скрепляет и организовывает их, сохраняя преемственность и генетическую связь знания.
Так, исторически первой выявила и продемонстрировала подверженность своего развития принципу перманентного перенесения, а значит принципу соответствия, геометрия, в которой наглядно была сформулирована идея соответствия между евклидовой и неевклидовой геометриями при возможности предельного перехода от одной к другой.
Со временем те же закономерности взаимосвязи были обнаружены в сфере алгебры и анализа. Оказывается, что эволюция понятия числа на наиболее поздних ступенях содержит в себе последовательность подобных переходов от одномерного к двумерному, а от него - к четырехмерному изображению числа (вещественные, комплексные числа и кватернионы).
Важнейшая область математики - современный математический анализ, не нарушая общей закономерности и не являясь исключением, характеризуется принципиально той же логической связью и зависимостью между теоретическими построениями. Достаточно указать на особенность развития теорий дифференциальных и интегральных уравнений, обыкновенных и обобщенных функций.
Здесь раскрывается существеннейшая характеристика развивающегося математического знания - его преемственная целостность. В форме последовательной, перманентной связи и соответствия сохраняется определенная инвариантность, содержательность качественно изменяющихся и уплотняющихся, переходящих и включенных друг в друга теорий. В процессе своего интенсивного развития познание не отходит от сущности предмета, а, напротив, реально постепенно приближается к ней, углубляясь от одного ее порядка к другому, более высокому.
Осуществление указанных методологических принципов перманентного перенесения, соответствия, а также характеризующего функциональную структуру знания принципа конфронтации служит конкретизацией и выражением в сфере математического знания всеобщих диалектико-логических закономерностей развития познания - законов отрицания и противоречия. В этом состоит сила их методологического действия в математике-
В настоящее время хорошо известно, что не только в этой науке наблюдается такая картина. Еще в XIX в. появились аналогичные идеи относительно принципов развития химии. Так, А.М. Бутлеров писал, что старая теория, “отживая, входит в виде более или менее измененном как часть в состав новой теории, более обширной. Та зависимость между фактами, которая была прежней теорией, подтверждается, расширяется и объясняется еще лучше новой теорией, те открытия, к которым старая теория привела, остаются прочными памятниками ее заслуг”. Поступательное развитие науки показало, что указанные принципы, в частности принцип соответствия, являются всеобщими гносеологическими принципами и проявляют себя наиболее явственно там, где конкретно-специальное знание наиболее математизировано. Речь идет, конечно, о физике. Одним из важнейших в ней является принцип соответствия, представляющий собой одну из конкретно-научных интерпретаций необходимой, закономерной преемственной связи в развитии теоретических систем научного познания.