Отношение принадлежности члемента а классу А записывается так: а Є А. Читается: элемент а принадлежит классу А. Например, а — "нева" и А - "река". Классы А и В являются тождественными (совпадающими), если А с В и В с А, что записывается как А= В.
Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий
В этом законе речь идет о понятиях, находящихся в родовидовых отношениях. Объем одного понятия может входить в объем другого понятия и составлять при этом лишь его часть. Например, объем понятия "хищная рыба" целиком входит в объем другого, более широкого по объему понятия "рыба" (составляет часть объема понятия "рыба"). При этом содержание первого понятия оказывается шире, богаче (содержит больше признаков), чем содержание второго. На основе обобщения такого рода примеров можно сформулировать следующий закон: чем шире объем понятии, тем уже его содержание, и наоборот. Этот закон называется законом обратного отношения между объемами и содержаниями понятии. Он указывает на то, что чем меньше информации о предметах, заключенной в понятии, тем шире класс предметов и неопределеннее его состав (например, "водопад"), и, наоборот, чем больше информации в понятии (например, "крупный водопад" или "крупный водопад в Канаде"), тем уже и определеннее круг его предметов, или даже мыслится только один предмет.
2. Отношения между понятиями
Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. Поэтому и понятия, отражающие эти предметы, также находятся в определенных отношениях. Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми (например, "поэма" и "колодец"; "невоспитанность" и "радуга"), остальные понятия называются сравнимыми.
Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые (их объемы не имеют общих элементов).
В отношении противоположности (контрарности) находятся объемы таких двух понятий, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит какие-то признаки, а другое эти признаки не только отрицает, но и заменяет их другими, исключающими (т.е. противоположными признаками). Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами. Антонимы широко используются в обучении. Примеры противоположных понятий: "великан" — "карлик"; "белые туфли" -"черные туфли". Объемы последних двух понятий разделены объемом некоторого третьего понятия, куда, например, входит понятие "коричневые туфли".
В отношении противоречия (контрадикторности) находятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает. Исключает, не заменяя их никакими другими признаками. Если одно понятие обозначить А (например, "глубокое озеро"), то другое понятие, находящееся с ним в отношении противоречия, следует обозначить не-А (т.е. "неглубокое озеро"). Круг Эйлера, выражающий объем таких понятий, делится на две части (А и не-А), и между ними не существует третьего понятия. Например, товар может быть либо дорогой, либо недорогой; комната бывает светлой или несветлой; животное - позвоночным или беспозвоночным и т.д. Понятие А является положительным, а понятие не-А — отрицательным. Понятия А и не-А также являются антонимами.
3. Определение понятий
Определение (дефиниция) (от лат. (definitio — определение) понятия — логическая операция раскрытия содержания понятия или значения термина.
С помощью определения понятий мы в явной форме раскрываем содержание понятия и тем самым отличаем круг определяемых предметов от других предметов.
Примеры: "Информатика — наука, предметом которой являются процессы и системы получения, хранения, передачи, распространения, использования и преобразования информации" (1); "Правильной дробью называется простая дробь, числитель которой меньше знаменателя" (2).
Давая такие определения, мы отличаем науку информатику от других наук, а правильные дроби от всех других дробей, например неправильных или десятичных.
Приведем еше несколько определений понятий, взятых из школьных учебников, которые принадлежат к двум различным видам определений (реальным и номинальным). "Зоология — это наука о животных, об их разнообразии, строении, поведении, размножении, развитии, происхождении, а также о значении в природе и жизни человека" (3); "Слово зоология происходит от двух греческих слов: эоон — животное и логос — слово, учение, наука" (4). "Число, которое показывает, во сколько раз уменьшены (увеличены) настоящие расстояния на чертеже, называется масштабом" (5).
Понятие, содержание которого надо раскрыть, называется определяемым понятием (definiendит, сокращенно Dfd), а то понятие, посредством которого оно определяется, называется определяющим понятием (definience, сокращенно Dfn). Правильное определение устанавливает между ними отношение равенства (эквивалентности).
Определения делятся на явные и неявные. В явных определениях даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны, т.е. Dfd=Dfn. К их числу относится самый распространенный способ определения через ближайший род и видовое отличие, где формулируются существенные признаки определяемого понятия. Например: "Барометр — прибор для измерения атмосферного давления"; "Треугольник — многоугольник с тремя сторонами"; "Гротеск — способ сатирического изображения жизни, отличающийся резким преувеличением, сочетанием реального и фантастического".
Признак, указывающий на тот крут предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, называется родовым признаком, или родом. В приведенных выше примерах это "прибор", "многоугольник", "способ сатирического изображения жизни". Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называются видовым отличием (их может быть один или несколько).
Разновидностью определения через род и видовое отличие является генетическое определение, в котором указывается способ образования только данного предмета. Например: "кислотами называются сложные вещества, образующиеся из кислотных остатков и атомов водорода, способных замешаться атомами металлов или обмениваться на них": "коррозия металлов — это окислительно-восстановительный процесс, образующийся в результате окисления атомов металла". Много генетических определений в математике, к их числу относятся такие, как "цилиндр вращения", "конус вращения".
Определения через ближайший род и видовое отличие и генетические определения входят в класс реальных определений, ибо они определяю само понятие, например, "информатика", "треугольник", "кислота" и др. К явным относятся и номинальные определения. Последние дают определение термина, который обозначает понятие, или вводят знаки, заменяющие понятие (обычно в свой состав они включают слово "называется"). Они часто встречаются в математике. Например: "конус называется круговым, если основание его - круг"; "Прямая, соединяющая вершину конуса и центр основания, называется осью конуса". Номинальными определениями, вводяшими знаки, являются следующие: "g - ускорение свободно падающего тела", "m- масса тела", "знак vобозначает строгую дизъюнкцию" и т.п. В приведенных выше примерах определения (1). (3) — реальные, а определения (2), (4) и (5) — номинальные.
Чтобы определение было правильным, надо соблюдать следующие правила.
Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении
1. Определение должно быть соразмерным, т.е. Объем определяющего понятия должен быть равен объему определяемого понятия. Dfd=Dfn.
Это правило часто нарушается, в результате чего в определении возникают логические ошибки. Типы этих логических ошибок:
А. Широкое определение, когда определяющее понятие по объему шире, чем определяемое понятие Dfd<Dfn. Такая ошибка содержится в следующих определениях: "Гравитация — это взаимодействие двух материальных тел"; "Костер - источник тепла".
Понятие "окружность" неправильно определяется так: "это фигура, которая описывается движущимся концом отрезка, когда другой его конец закреплен, или фигура, которая образована движущимся концом циркуля". С помощью этого определения нельзя отличить понятие "окружность" от понятия "дуга", так как не указано, что окружность — это кривая замкнута я линия.
Приведем пример из истории философии. Древнегреческий философ Платон дал такое определение понятия "человек": "Человек — это двуногое животное без перьев". На лекцию Платона в Академию другой философ Диоген с целью доказать логическую ошибку Платона в определении понятия принес ощипанного петуха и выпустил его в аудиторию со словами: "Вот человек Платона". Утверждают, что Платон признал свою ошибку и уточнил первоначальное определение: "Человек — это двуногое животное без перьев с широкими ногтями".
Б. Узкое определение, когда определяющее понятие по объему уже, чем определяемое понятиеDfd>Dfn. Например: "Вершина - самая высокая часть холма", однако и у горы есть вершина. Другое: "Совесть — это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои действия и поступки" (а перед обществом?).
В. Определение в одном отношении широкое, в другом - узкое. Например: "Ящик — тара для хранения овощей". С одной стороны, это широкое определение, так как тарой для хранения овощей может быть мешок и контейнер и т.д., с другой стороны, это узкое определение, так как ящик пригоден для хранения и цемента, и песка, а не только овощей.