Дедуктивные умозаключения (стр. 4 из 5)

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение лжи при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных.

Выполнимыми называют формулы, которые могут принимать значения истины или лжи в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ├), которое определяется следующим образом. Из Ai,..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого Ai, ..., Ап истинным является и В. В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если A1,..., Аn ,├ В, то формула, представляющая собой импликацию вида (A1 ^ А2 ^ ... ^ Аn) → В, должна быть тождественно истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказывания и проверять правильность умозаключений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формы (p→q) ├ (ˉ|q→ˉ|p). Заменив знак логического следования между посылкой и заключением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокращенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рассуждении формула вида (A1 ^ ... ^ Аn) → В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Предположим, что может. Если из этого предположения получим какое-нибудь противоречие, то предположение неверно (и проверяемое рассуждение правильно), а если из этого предположения не получим противоречия, то увидим набор значений переменных, при котором формула ложна, т. е. тот набор, который опровергает проверяемое рассуждение.

Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая система натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A1 – An (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих и последняя формула этой последовательности есть формула В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в алфавите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (Х1→(X2 →... (Xn-1→Xn))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т. е. Х1,X2, X3...,Xn-1. Если при этом удастся вывести Xn, то по непрямому правилу

собираем последовательно формулы: (Xn-1→Xn)

(при этом исключается допущение Xn-1), (Xn-2→(Xn-1→Xn)(Xn-2 исключается из числа допущений) и т. д., пока ни получим требуемое заключение

X1→(Xn-2→…(Xn-1→Xn).

Это правило построения прямого вывода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((р

q)→r)├ (р→ (q├ r))

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквента х„. Это правило имеет вид

и говорит о том, что если из каких-то формул (r) и допущения (А) получено противоречие (В

ˉ|В), то из этих формул следует ˉ|А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (X1→(X2→... (Xn-1→X n)...), то после посылок выписываются формулы:

Затем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока ни получим две противоречащие друг другу формулы (В и ˉ|В), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка ˉ|ˉ|Xnи тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод:

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т. е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида X1→(X2→...Xn), то построчно выписывают все антецеденты от X1 до Xn-1 в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента — ˉ|Xn как допущение косвенного вывода. По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвенного вывода. На этом основании ДКД отрицается, т. е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу Xn.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться только истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множества посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание (ˉ|А). Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вывести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

Задачі

1. Чи правильно визначені відношення між поняттями:

А - фінансист;

В - державний службовець;

С – спортсмен;

Д – студент?

Відповідь:

Поняття А, В, С і Д є порівнянні поняття, тому що спільне в них визначення особи, яка займається трудовою діяльністю, є родовою ознакою.

Із них сумісними поняттями є А і В (загальна видова ознака – наявність обов`язкової вищої освіти), С і Д (загальна видова ознака – надання права одночасно вчитись та професійно займатись спортом).

Поняття А і В несумісні з поняттям С, тому що для фінансиста заняття професійним спортом означає не заняття фінансами (прикладів суміщення в практиці не має), для державного службовця іншою професійною діяльністю (крім навчання і науково-педагогічної діяльності) заборонено законом.

Поняття А і В несумісні з поняттям Д, тому що поставлене питання розглядається в контексті однієї по кількості вищої освіти, тобто наявність вищої освіти виключає можливість навчання.

Таким чином, кола А і В не повинні пересікатись з колами С і Д.

Розглянемо сумісні поняття А і В.

В наведеному завдання між цими загальними поняттями існує відношення перехрещення, тому що їх видові ознаки не заперечують одна одну (наприклад, співробітник фінансового управління міністерства є одночасно і фінансистом, і державним службовцем).

Поняття А і В пересікаються правильно.

Розглянемо сумісні поняття С і Д.

Відношень тотожності тут не маємо, що очевидно, відношень підпорядкованості теж не маємо, тому що поняття студент розглядається по відношенню до понять А, В і С, а не окремого поняття С (наприклад, студент інституту фізичної культури).

Між цими загальними поняттями існує відношення перехрещення з тих же причин, що і між поняттями А і В.

Розглянемо несумісні поняття.

Між несумісними поняттями А і С, а також В і С існують відношення супідрядності, тому що вино входять, як було сказано вище, до одного роду – професія.