ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающимся изменением конфигурации системы.
Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:
где определяется формулой (9).
Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:
,
где - потенциальная энергия системы во внешнем поле сил.
Работу неконсервативных сил обозначим .
Согласно формуле (7) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы Ek, которая равна сумме кинетических энергий частиц:
.
Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:
.
Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы E:
.
Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:
(11)
Из (11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:
.
Мы пришли к закону сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.
Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит только два слагаемых: ( - взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.
В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени t1 моментом времени t2 без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента t2, будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t1.
Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожаемости материи и ее движения.
ЗАКОН СОХРАНЕИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки О называется векторная величина
(12)
где r - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а p=mV – импульс частицы. Модуль этой величины, равный rpsina, можно представить в виде произведения плеча импульса на модуль вектора p:
L= p.
L=mVr
и так же, как в предыдущем случае, может изменяться только за счет изменения модуля скорости. Несмотря на непрерывное изменение направления вектора p, направление вектора L остается постоянным.
Проекция вектора L на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом импульса частицы относительно этой оси:
.
M=[rF]
Называется моментом силы F относительно точкиО, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Модуль момента силы можно представить в виде
M=rFsina= F,
где =sina - плечо силы относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила).
Проекция вектора M на некоторую ось z, проходящую через точку О, относительно которой определен M, называется моментом силы относительно этой оси:
.
Согласно второму закону Ньютона - результирующей сил, действующих на частицу; по определению . Поэтому можно написать, что
Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы F относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса L. Следовательно, мы приходим к соотношению
, (14)
согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.
Спроектировав векторы, фигурирующие в уравнении (14), на произвольную ось z, проходящую через точку О, получим соотношение
.
Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту относительно той же оси сил, действующих на частицу.
Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса L системы относительно точки О называется сумма моментов импульса Li отдельных частиц:
,
где - момент внутренних сил, а - момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Подстановка этих равенств в (15) приводит к соотношению:
.
Каждое из слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на i-ю частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того, к какой из частиц они приложены, индекс i в суммах можно опустить.
Согласно (13)суммарный момент внутренних сил равен нулю. Поэтому получаем окончательно, что
(16)
Формула (16) сходна с формулой (1). Из сравнения этих формул заключаем, что подобно тому, как производная по времени от импульса системы равна сумме моментов внешних сил.
Спроектировав векторы, фигурирующие в формуле (16) на произвольную ось z, проходящую через точку О, придем к уравнению
(17)
Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (16) равна нулю и, следовательно, вектор L не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульсазамкнутой системы материальных точек остается постоянным. Разумеется, будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О.
Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю. Согласно (17) сохраняется момент импульса системы относительно оси z при условии, что сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю.
В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ