В.В. Целищев
Традиционным описанием проблем философии математики является описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики, развившийся в начале ХХ в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении (см. например, превосходную книгу М.Клайна “Математика: утрата определенности”), не говоря уже о массе более технических изложений, каковы например, “Введение в философию математики” Г.Лемана (H.Lehman “Introduction to the philosophy of mathematics”) или же “Философия математики” С.Корнера (Korner S. “The philosophy of mathematics”). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связанный с достижениями в математической логике и основаниях математики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы - логицизм Фреге и Рассела, интуиционизм Брауэра и Гейтинга, формализм Гильберта и Неймана. Довольно охотно многие авторы соглашаются с мнением, которое четко было сформулировано А.Мостовским: “…Философские цели трех школ не были достигнуты, и … мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ. Вопреки этому, нельзя отрицать, что активность этих школ принесла огромное число новых важных открытий, которые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ” [1]. В результате этого большая часть места в книгах отводится, с одной стороны, традиционному изложению взглядов трех школ, а с другой - интересным “побочным” результатам. Таким образом, создается иллюзия того, что философия математики продолжает быть активной частью философии, хотя, как недавно выразился Х.Патнэм, “ничего это (три великих школы) уже не работает” [2].
Данная статья представляет собой почти нарратив читающего текущую прессу философа, и автор не готов подписаться почти ни под одним из крайних утверждений, о которых здесь рассказывается. Во-первых, он имеет свою собственную версию происходящего, а во-вторых, разделяет с рядом своих коллег другое предложение по улучшению ситуации в философии математики, в частности, поддерживает так называемый проблемно-ориентированный подход к основаниям математики [3]. Тем не менее обзоры такого рода полезны, с максимальным сохранением стиля и манеры тех авторов, точки зрения которых достойны упоминания.
Определенная стагнация в этой области философии может быть оценена в сравнении с философией науки. В 30-40-х годах философия науки направлялась логическими позитивистами, влияние которых ослабло лишь с появлением новых идей о решающей роли научной практики и исторических рассмотрений в науке. Р.Херш говорит, что “философия математики запоздала со своими Поппером, Куном, Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами математики, и с соответствующими философскими рассмотрениями” [4].
В результате этого собственно философские утверждения о математике стали менее интересными. Больше того, многие полагают, что сама философия математики представляет не фундаментальные проблемы философии, а скорее, является результатом исторически случайного взаимодействия философии и математики. Так, Хао Ван полагает, что “интерес философов к основаниям математики возник как результат той исторической случайности, что Рассел и Фреге правильно или неправильно связали некоторые области математики с философией… Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии” [5].
В любом случае общепринятым мнением философской коммуны является то, что в философии математики в настоящее время наблюдается стагнация. Но не все так безнадежно, и в уже цитированной выше работе Х.Патнэм дает краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики:
логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);
логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка);
формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто “идеальное” - и само по себе бессмысленное - расширение “реальной” - конечной и комбинаторной - математики);
платонизм (согласно Геделю, реально существуют математические объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он приобретает все лучшие интуиции относительно поведения таких объектов);
холизм (Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки и что необходимость квантификации над математическими объектами в случае достататочно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетельство для “постулирования множеств с той же серьезностью, с какой мы относимся ко всякому онтологическому постулированию”; множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе научного исследования);
квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике);
модализм (мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур);
интуиционизм (принятие математических утверждений как значимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относительно истин, например, бивалентности) [6].
Сам Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и продолжать исследования, которые представляют собой определенную смесь последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в некотором смысле (в другой классификации) являются самостоятельными направлениями. Так, Дж.Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще четырьмя направлениями (полагая при этом, что в целом этот список, состоящий из 12 направлений, покрывает все направления в философии математики):
номинализм (программа Х.Филда);
структурализм (программа С.Шапиро и М.Резника);
натурализм (программа П.Мэдди);
предикативный конструктивизм (программа С.Фефермана) [7].
Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии математики. Между тем возможен более радикальный взгляд на философию математики, который, как считает Р.Херш, больше соответствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что в повороте философии математики по направлению к практике ряд философов высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем.
· Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание фрегевских абстрактных концепций и вневременной объективной реальности.
· Математическое знание погрешимо. Подобно науке, математика прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос).
· Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Использование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.
· Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика не является наилучшим способом решения этих проблем.
· Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математику из литературы или религии. Тем не менее математические объекты являются общими культурными идеями, подобно литературным персонажам или религиозным концепциям [8].
Столь радикальный отход от стандартов философии математики предполагает, конечно, в высшей степени ретроспективный и отстраненный взгляд на все предприятие, связанное с философией математики. Херш атакует традиционную, доминирующую философию математики и предлагает “радикально новый гуманистический ответ на ее вопросы: “От союза Математики и Религии в стране Науки произошло два дитяти, Платонизм и Основания, с притязаниями на знатность (математические истины суть вечные истины в уме Бога; интуиция, способность человека взаимодействовать с этими истинами может дать неоспоримые основания). После Канта брак распался, и религия была изгнана из страны Науки. Один из главных воспитателей Оснований, Евклидова Геометрия, была изгнана своими молодыми кузенами - Неевклидовыми Геометриями и ранена Анализом и Арифметизацией. Их отпрыск, Множество, обещал защитить детей, но не смог по причине своей нетвердости. Вопреки усилиям трех защитников - Лог(ицизма), Инт(уиционизма) и Форм(ализма), Основания умерли. Платонизм выжил, и несмотря на его теологические претензии и анафему гражданам Науки, доминирующая философия продолжала предоставлять ему убежище. Математика не должна, по заверениям гуманистов, подчиняться диктату Платонизма. Она должна вести свою жизнь, сама определяя себе правила. С некоторыми заметными гуманистическими исключениями (среди них - Аристотель, Локк, Виттгенштейн, Лакатос, Китчер) доминируюшая область включает традиционную и современную философию математики” [9]. Херш, естественно, причисляет себя к гуманистам.
Следует сказать несколько больше относительно того, что же представляет собой так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому модному направлению в философии - так называемому социальному конструированию, хотя гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с социальным конструированием. Дело в том, что признание математики просто человеческой активностью, с точки зрения гуманистической математики, вообще не имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за пределами социально-историко-культурного контекста, который проявляется в неизменной онтологии математических объектов и вневременном характере математических истин. Но если, как это утверждает гуманистическая математика, математическое познание погрешимо, тогда истина и онтология в математике изменяются по ходу познания.