Учитывая сказанное, эфиру не может быть приписана какая–либо определенная размерность (отличная от нулевой). Предположив обратное, мы пришли бы к выводу о глобальной (или локальной) неизотропности (или неоднородности) свойств пространства вещественных объектов, поскольку они определялись бы трехмерным сечением n–мерной упаковки планкеонов, а любая n–мерная упаковка (n № 0) образует выделенные направления. Таким образом, характеризуя планкеонный эфир, приходится отмечать особенность его топологических свойств, а именно, неопределенную (с точки зрения вещественного объекта — нулевую) размерность. Это следует понимать, например, как предположение о том, что данное топологическое свойство размерности присуще пространству планкеонов в непроявленной форме. Если бы планкеон (а за ним — и эфир) характеризовался бы ненулевой размерностью, то имелась бы принципиальная возможность различить его внутреннюю и внешнюю стороны, т.е. проанализировать структуру, получить информацию о внутреннем строении и т.п. Однако все это находится под принципиальным физическим запретом уже потому, что планкеон является пределом эволюции “черных дыр” (лоренц–инвариантной “черной дырой” с гравитационным размером lpl), и следовательно ни при каких условиях вещественный наблюдатель не может “заглянуть” внутрь него.
Планкеон для вещественного наблюдателя оказывается объектом, не обладающим топологическим качеством размерности, — в этом отношении он уподобляется идеальной математической точке. Именно это свойство служит логическим обоснованием для введения понятия минимальной длины (кванта) пространства вещественных объектов. Величина lpl полагает предел пространству вещественных объектов, — области меньшего размера оказываются “вне” этого пространства, обладая топологическими отличиями.
Учет конечной минимальной длины пространства вещественных объектов приводит к необходимости переопределения архимедовых арифметических действий при описании процессов на планковских масштабах.
Простейший пример подобной арифметики [7] предполагает следующее переопределение действий сложения, вычитания, умножения и деления:
l3 = l1 l2 є l1 + l2 – lpl ,
l3 = l2 l1 є l2 – l1 + lpl , (l1 l2),
l3 = l2 l1 є l2 · l1 – lpl · ( l1 + l2 – lpl) + lpl ,
l3 = l2 l1 є (l2 – lpl):(l1 – lpl) + lpl, (l1 № lpl).
Данная арифметика предназначена для описания с точки зрения вещественного наблюдателя реальных количественных соотношений на масштабах, приближающихся к планковским. При l ” lpl эти операции переходят в привычные действия архимедовой арифметики. Величина lpl играет роль актуального нуля множества всех пространственных длин, которое, в свою очередь, приобретает необычный “дискретно–континуальный” характер. По–сути, эта арифметика отвечает принципиально новому представлению о свойствах пространства–времени, непосредственно проявляющихся на предельно малых масштабах, но влияющих на основания всех без исключения фундаментальных физических теорий.
Свойство lpl + lpl = lpl данной арифметики указывает, в частности, на то, что минимальная область пространства может вмещать сколь угодно большое количество объектов с планковскими размерами. Это согласуется с представлением о планкеоне (с точки зрения трехмерных вещественных наблюдателей) как об объекте нулевой размерности (подобном математической точке в классических континуальных моделях). Следует отметить, что существуют работы, в которых обосновывается возможность существования трехмерного пространства со сколь угодно большим числом внутренних степеней свободы [11]. В этом случае “точки” пространства одновременно могут внешне представлять собой элементы нулевой размерности, имея при этом произвольно большую “внутреннюю” мерность.
Новая арифметика обеспечивает непротиворечивое сосуществование свойств изотахии движения вещественного микрообъекта, инвариантного покоя планкеона и относительного движения вещественных объектов [7]. Действительно, последовательность элементарных смещений объекта на lpl в любом направлении со скоростью c (изотахия) не должно изменять его удаленность от любого “выделенного” планкеона (инвариантный покой). В то же время результат элементарных смещений двух вещественных объектов содержит возможность изменения расстояния между ними (относительное движение). Получается, что в адекватной арифметике величина (число), соответствующая планковской длине, сочетает в себе свойства традиционного нуля и минимального ненулевого элемента.
Рассмотрим далее специфическое возбужденное состояние, которое со скоростью c переносится с одного планкеона на любой соседний (предполагается, что пространственная упаковка планкеонов обеспечивает расстояние lpl между “центрами” любых двух соседних планкеонов). Два планкеона, связанных предполагаемым процессом, образует минимальный одномерный объект (диаду), поскольку диада с точки зрения вещественного наблюдателя задает одно направление, подобно двум математическим точкам, находящимся на конечном расстоянии. Топологическое свойство размерности, не проявленное в эфире, состоящем из невозбужденных планкеонов, возникает в диаде. Этим диада качественно отличается от любой пары невозбужденных планкеонов. Линейный размер диады не является лоренц–инвариантным и равен lmin= 2 · lpl, в то время как другие геометрические характеристики диады (площадь и объем) являются планковскими, в результате чего диада не может быть классифицирована как вещественный объект.
В силу отсутствия выделенности планкеонов и изотропности направлений это возбужденное состояние может хаотически “блуждать”, передаваясь по массиву планкеонов и создавая новые диады, отличающиеся в восприятии вещественных объектов пространственной ориентацией. Здесь следует обратить внимание на относительность различия диад: вещественный наблюдатель (в силу присущей ему трехмерности) способен лишь выделить различные составляющие определенного целого, взятого в его полноте. Различность и взаимная дополнительность диад проявляется в их способности образовывать качественно новые (трехмерные) объекты. Соединение одинаковых по направлению диад означает перенос возбужденного состояния планкеона в заданном направлении со скоростью c (что соответствует свойствам фотона). Совокупность же последовательных переносов, происходящих в различных направлениях, выделяет три диады, составляющие минимальный трехмерный объект (полную триаду). Все его геометрические размеры, включая объем, оказываются не лоренц–инвариантными величинами. Это коренным образом отличает полную триаду от планкеонов, диад и двумерных структур, образуемых парой диад. Тем самым, полная триада оказывается качественно отличной от планковских объектов, что позволяет классифицировать ее как минимальный вещественный объект (с характерным линейным размером lmin).
Возникающая триада не является статичным объектом, поскольку в ее основе лежит элементарный процесс передачи возбужденного состояния планкеона. Иными словами, полученный минимальный вещественный объект не существует без движения. В течение каждого последующего кванта времени tpl в составе триады появляется новая диада, и полностью разрушается первая. Если при этом сохраняется полнота триады (т.е. отличие направлений составляющих ее диад), то объект будет характеризоваться трехмерностью для любого набора последовательных квантов времени (элементарных движений).
Определим минимальное время, необходимое вещественному наблюдателю для восприятия триады как вещественного (трехмерного) объекта. Для этого представим процесс последовательного создания M диад, такой что любая тройка последовательных диад образует полную триаду. Это условие означает, что возможное количество полных триад, поочередно создаваемых в рассматриваемом процессе, максимально и равно M – 2. Процесс характеризуется тем, что в любой из квантов времени tpl возбужденное состояние передается от одного планкеона к другому, что означает соединение пары планкеонов в новой диаде и разъединение в предыдущей. Поскольку анализируемая “цепочка” из M диад создается в результате M – 1 акта соединения (и такого же количества актов разъединения) планкеонов, то суммарное время процесса будет равно (M – 1) · tpl. Разделив общее время процесса на максимальное возможное количество поочередно создаваемых полных триад, получим минимальное время существования (восприятия) элементарного вещественного объекта: tmin = [(M – 1) (M – 2)] · tpl. Операция в квадратных скобках означает разделение величины M – 1 на M – 2 равные части. Согласно арифметике с минимальным ненулевым числом, каждая из частей должна быть равна 2.
Величину tmin = 2 · tpl следует понимать как минимальную длительность (“конечное мгновение”), различимую вещественными объектами. На меньших временах мир вещества объективно не существует. В этом проявляется свойство реновации, характеризующее движение в дискретном пространстве и времени: при элементарном движении объект переходит в “инобытие”, чтобы через tmin “возникнуть” в соседней ячейке дискретного пространства. На основе изложенного выше “инобытие” нужно интерпретировать как бытие материального объекта в топологически “ином” (не трехмерном, не вещественном) состоянии. За время, меньшее tmin, свойства трехмерности объектов не могут (не успевают) проявиться, в результате чего мир оказывается “лишенным” трехмерных объектов, но содержащим их одно– и двухмерные проекции.