egincenter
f
Роль интуиции в математике
ndcenter
Но, раз уж мы говорим, что математические рассуждения ученых античности и нового времени грешат отсутствием логической строгости, там не доказаны казавшиеся очевидными факты, то означает ли это, что все эти ученые были по своему складу ума геометрами? Конечно, это не так.
Иначе пришлось бы заключить, что в древности природа создавала только геометров, зато в 19 веке и на рубеже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам. Например, если взять Евклида , про которого неизвестно ничего, кроме одного сочинения, в котором и излагается система его аксиом, то можно с уверенностью заключить, что этот человек --- аналитик. Только логик мог в античные времена вообще принять необходимость выделения в геометрии неизбыточной системы непротиворечивых аксиом. С большой вероятностью можно утверждать, что сами аксиомы, принимаемые интуитивно, были высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказаны теоремы геометрии. Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой, потому что именно Евклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания.
На сегодняшний день изменились не умы, а идеи. Сейчас от математиков, руководствуются они интуицией или логикой, требуется некий необходимый уровень строгости, и эта необходимость признана всеми. Какова же причина этого негласного соглашения? Она лежит на поверхности. Мало того, что интуиция, при всей ее творческой силе, не может дать нам строгости. Это еще полбеды. К сожалению, она не может дать достоверности знания, полученного с ее помощью.
Например, все мы имеем интуитивное понятие о
непрерывной функции как о функции, график которой представляется непрерывной линией. В то же время строгое определение непрерывности, на каком языке (топологическом, языке последовательностей, $ e- l$-окрестностей) его не формулируй, не может не содержать менее 5 предикатов, а нормальный, не занимавшийся математикой человек может понять сходу фразу, содержащую не более двух вложенных предикатов. Зачем тогда вообще нужно это строгое логическое определение? Но с помощью того интуитивного представления, которое мы имеем, представляя непрерывную кривую, мы получаем такое "доказательство": любая непрерывная функция имеет производную, так как любая кривая имеет касательную. В то же время известно, что далеко не всегда непрерывность функции обеспечивает ее гладкость.
Интуиция нас "обманывает" ровно в силу того, что в математике мы имеем дело не с реальными объектами, а с идеальными. Мы не можем представить себе кривую, не имеющую толщины. В лучшем случае мы представляем не канат, а очень тонкую линию, но тем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить не может. Это необходимо остается на долю логиков.
Таким образом, необходима логическая строгость, а она
невозможна в рассуждениях, если ее нет в определениях. Таким образом, усилия логиков были направлены на сами начальные определения. Так, интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго было определено только в 19 веке Дедекиндом, причем пришлось столкнуться с такими сложностями, что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, и то только технические специальности. Очевидное интуитивное понятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке, и тоже с большими трудностями.
Естественно возникает вопрос: а закончилась ли эта эволюция строгости? Ведь не из лени и не из-за отсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивались требуемой нынешним временем строгости.
Кстати, физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такого сорта, что вызывают ужас у математиков. Результаты
экспериментов экстраполируются некоторой формулой, и если результаты последующих экспериментов хорошо ложатся в эту формулу, то она признается верной. Кроме того, их не интересуют такие тонкие случаи, как поведение решений на границах и других множествах меры нуль, так как вероятность попадания туда равна нулю. В то же время математик не сочтет задачу решенной, пока не исследует поведение решения во всех точках, и, как правило, его интересуют именно тонкие случаи.
Древние считали свой уровень строгости достаточным. Не потребуют
ли наши потомки еще большего господства логики? Конечно, одной логикой обойтись нельзя, так как она сводит все к чистой тавтологии. Необходима интуиция. А что же вообще может пониматься под словом интуиция? Рассмотрим следующие утверждения:
1) Две величины, равные третьей, равны между собой;
2) Пусть теорема равна для n=1, и верно, что если она верна для n, то верна и для n+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел;
3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D лежит между А и С, то точка D лежит между А и В;
4) Через две точки можно провести только одну прямую.
Все четыре высказывания являются аксиомами и должны быть приписаны интуиции. Тем не менее первое есть выражение формального логического закона (если заранее определено понятие равенства), второе есть выражение метода, называемого математической индукцией, третье есть апелляция к геометрической или пространственной интуиции и к интуитивно понимаемому отношению "между", а четвертое утверждение есть фактически скрытое определение прямой. Иначе говоря, интуиция не есть обязательно свидетельство чувств человека. Есть несколько видов интуиции --- обращение к чувствам или воображению, интуиция обобщения, и, наконец, интуиция чистого числа, породившая арифметику и в дальнейшем всю математику. Первые две не могут дать достоверности, но третья является основой математики, иначе говоря, сомневаться в ней означает сомневаться в арифметике. Сейчас в математике окончательно изгнана из доказательств интуиция первого рода, строго формализована интуиция второго рода. Остальное составляют силлогизмы и интуиция чистого числа. На современном уровне развития философии можно сказать, что в математике достигнута абсолютная строгость.
egincenter
f
Интуиция ученого
ndcenter
Если мы говорим, что логика дает только чистую тавтологию, то в чем же заключается процесс творчества ученого? Этот вопрос особенно интересен для
математического творчества, потому что в этом акте человеческий ум заимствует из внешнего мира меньше всего, и орудием, и объектом воздействия является он сам. Поэтому, изучая процесс математического творчества, можно надеяться проникнуть в саму сущность человеческого ума.
На самом деле удивителен тот факт, что некоторые люди совершенно не понимают математических рассуждений. При этом они могут быть талантливы, умны, но не понимать математику. На самом деле, ведь если математика есть цепь силлогизмов, построенных по общим нормальным законам логики, которые понятны каждому нормальному человеку, и основанных на некоторых принципах, называемых аксиомами, которые общи для всех и никто не собирается их отрицать, то почему большое количество людей не понимает эти построения? Понятно, что не каждый способен на творчество, понятно также, что не каждый может запомнить однажды услышанное доказательство. Но каким образом такое количество людей не могут понять доказательство в тот момент, когда его излагают? Это подтверждает даже тот факт, что математика, преподаваемая в школе и не имеющая самого элементарного уровня строгости, считается одним из наиболее трудных предметов и усваивается далеко не всеми. Кроме того, как могут возникать ошибки в математических доказательствах? Ведь это просто цепь предложений, построенных по очень простым правилам. Но, тем не менее, ошибки допускали даже великие умы, причем бывало, что ошибки в их доказательствах были найдены через столетия после опубликования работ (яркий пример тому - метод множителей Лагранжа).