Если брать одну только линию развития логики, то можно привести череду величайших имен: Кузанский, Спиноза, Декарт, Лейбниц, Кант, Фреге, Милль, Рассел. Можно еще продолжать, но пока остановимся. Одна только математическая логика как точная наука о развернутых формах мышления - необъятная тема.
Современное гуманитарное мышление - во многом математическое. Достаточно назвать математическую экономику, социологию, политологию, психологию. А с появлением уже развитой информатики и информационной индустрии применение математических моделей стало всеобщим и необходимым. Одна только тема "Искусственный интеллект" необъятна как по содержащимся в ней моделям, так и - главное - по их осмыслению с точки зрения логики и методологии развития всей науки и техники.
Гуманитарная сущность математики проявляется в том, что математика исследует в том числе и формы человеческого мышления, причем не только рациональные (Это можно заметить, наблюдая работу нейронных систем). Далее, она имеет глубокое воспитательное значение, она связана с трудом, ее результаты достигаются максимальным сосредоточением умственных и волевых усилий. Наконец, все ее глубокие результаты несут нетривиальную эстетику.
Сближение математики с гуманитарными науками характеризуется и ростом внимания к многозначности, рефлексии (двойственности), нелинейности, хаотическим процессам и отражению иррациональных процессов в моделировании. Этому способствует использование нейронных систем в решении неформализованных задач принятия решений, прогнозирования, диагностики.
В этой сфере можно проследить и влияние постмодернизма, что связано с широким использованием комбинаторики, более свободным и широком выбором моделей и манипулированием ими.
Можно отметить еще такой аспект гуманитаризации математики, как все больший отказ от излишней идеализации объектов; математика становится более "человечной" еще в том смысле, что она переходит к большей реалистичности в моделировании. Более реалистичные модели поневоле становятся более тонкими, более изощренными.
Если математику элементарно не мешают говорить, то есть, например, не шумят, он пользуется хорошим мелом и доской, то в остальном он свои права интеллектуала реализует абсолютно свободно. Его могут прервать, только когда требуются пояснения либо когда надо сделать замечание о чисто логических погрешностях. Математический язык и математические конструкции - это чистое творчество, но с другой стороны оно стеснено рамками строгости и своеобразной (чисто логической) объективности. Изменить математические определения, теоремы и их доказательства - это значит прежде всего изобрести все соответствующие конструкции (как бы дать им сформироваться в подсознании), а затем вывести в область сознательного, оформить вербально, причем само изложение вы-глядит, как (в принципе) абсолютно убедительное и строгое. Язык математика и свободен - в своих построениях он волен, в принципе, как угодно высоко восходить по ступеням абстракций, и несвободен. Он должен удовлетворять строгим критериям. Данный вид творчества абсолютно свободен, так как никоим образом не связан с идеологией, общественным мнением и так далее.
А теперь признаемся, что мы весьма идеализируем ситуацию математики. Да это и ясно: говорить об АБСОЛЮТНОЙ свободе в науке - наивно. Многое определяется процессами, происходящими в обществе. Но есть и другая "несвобода", более конструктивная; математик должен заботиться о релевантности своих конструкций. И если эту сторону тоже обеспечивать инструментально, то здесь прежде всего надо использовать идеи двойственности. Двойственность позволяет "раскачать" математическую модель, проверить на прочность и устойчивость, и даже осуществить акт рефлексии, посмотреть на модель как бы со стороны, оставаясь в рамкам формальных построений.
Известна фундаментальная роль двойственности в оптимизации, в настоящее время разрабатывается и теория двойственности в распознавании, есть работы по двойственности для экспертных систем. Есть и обобщающие работы по самой идее двойственности в математике и ее приложениях.
Наш подход к общей проблеме двойственности таков: двойственная задача дает возможность оценить значимость тех или иных блоков в постановке исходной задачи, определить ценности. Так, двойственным к выбору является оценивание факторов выбора, двойственность связана с пространством оценок, сопряженным исходной задаче.
3. Структурализм и двойственность
Математика - наука о структурах. Но при решении реальных задач необходимо учитывать и внеструктурное. Один из способов обоснованного учета внеструктурного - использование блока распознавания как дополнительного к алгебраической или аналитической модели. Другой способ - рефлексия, что предполагает, например, построение двойственных моделей. Естественно, что необходимо рассматривать двойственность для синтеза моделей, включающих и анализ структур, и учет внеструктурного. В частности, в этой области нами были рассмотрены двойственные конструкции для моделей выбора, включающих распознавание и диагностику.
Рефлексии образуют ряд. Если М - модель , * - операция рефлексии, то полное описание имеет вид ряда М + М* + М** + М*** + ...
4. Оптимизация и распознавание в экономике
Принятие решений в экономике инструментируется экспертными системами. В Институте математики и механики УрО РАН и в УрГУ разрабатываются экспертные системы для задач интеллектуальной поддержки решений в области диагностики и прогнозирования сложных систем, в том числе экономических, для обсчета и сравнения различных вариантов практических решений. Состояние экономики отражается массивом данных, множество всех реальных возможных состояний - допустимым множеством в пространстве состояний.
При этом эволюция состояний экономики моделируется траекторией элементов в допустимом множестве. Возможные воздействия лиц, принимающих решения, направлены на улучшение свойств этой траектории, соответствующая задача моделируется задачей математического (оптимального) программирования. Диагностика и прогнозирование обеспечиваются решением задач распознавания образов и факторного анализа. Для них нами разработаны и продолжают совершенствоваться некоторые нейронные системы. Кроме того, в экспертных системах используются правила логического вывода.
Для оценки надежности и устойчивости результатов принимаемых решений нами построены теория и методы синтеза и анализа двойственных задач оптимизации, распознавания и логического вывода. Я здесь имею в виду работу целых коллективов в УрГУ (кафедры МЭ и ЭМИ) и в Институте математики и механики.
На этой основе возможен мониторинг региона и отдельных производств, оценка и учет ресурсов, оценка возможных вариантов развития региона. При этом реальные задачи обычно неформализованы, и для таких задач мы строим специальные методы. Есть подходы и к развязке объективно возникающих противоречий.