В качестве “первого звонка”, указывающего на естественные ограничения математических описаний, можно рассмотреть появившуюся во многих применениях необходимость задавать “граничные условия”. Достаточно вспомнить описание поведения магнитного сердечника (напр. с прямоугольной петлей гист.) в магнитном поле. Формально, приемы задания граничных условий в составе матем. аппарата “возникли” достаточно легко. Более того – в очень большом числе применений (для перехода от абстракции к образу физического объекта) они оказались практически приемлемыми. Правда, в большинстве такого рода применений речь не идет о непосредственном переходе к образу целого объекта. Скорее, такого рода преобразования (с “ограничителями”) входят в виде составных частей в некую более общую абстракцию, которая и переводится затем к объектному виду со степенью приближения, приемлемой в рамках используемой технологии. Но, в этом случае, как правило, в эту “общую” технологию приходится вводить некоторые корректирующие процедуры, как бы не вытекающие напрямую из основных преобразований. Это естественная расплата за неполноту и неточность абстрактного описания. В целом, развитие такого рода “нестыковок” и дало основание говорить о все большей “эмпиричности” практических технологий. Как крайний вариант мы можем просто вспомнить все, что связано с производством (выращиванием) живой материи. Здесь практически “голый эмпиризм”.
Однако, “жизнь невозможно повернуть назад…” и нам все больше и больше приходится использовать неполные (ограниченные) описания. Более того, громоздкость накопленного математикой аппарата абстрактных преобразований естественным образом привела и к очень узкой специализации в ней. В общем, ситуация в настоящее время такова, что специалист – математик, как правило, не занимается первичным преобразованием образа в абстракцию, и уж почти наверняка не озабочен переводом абстракции (после множества промежуточных преобразований) в нечто близкое к образу – прототипу.
Процесс узкой специализации в математике скорей естественен, чем негативен. Тем более, что внутри самой математики развиваются преобразования, весьма напоминающие (по структуре) непосредственное описание образов. Например – матрицы, операторы. Однако, здесь очень важно помнить – только напоминающие. Между таким “описанием” и реальным отображением образа может быть огромная пропасть. Причем, не одна, и не известно – в каком направлении эти бреши преодолевать. Практическое умение “увидеть” в такой математической матрице образ реального явления можно назвать сейчас чем-то вроде гениального искусства. Ярчайший пример такого видения показал И. Пригожин “усмотрев” в математике возможность самоорганизации материи. Конечно, и здесь имели быть понятные ограничения адекватности толкования. По этой причине, в частности, гениальное провидение не привело (пока) к общему прорыву в науке. Чего уж и говорить о множестве не столь известных вундеркиндов от математики, не ставших (пока) Нобелевскими лауреатами. Как правило, они ограничиваются интуитивным пониманием, что “здесь есть что-то очень важное”. Здесь, к сожалению, срабатывает и узость специализации, и иллюзорное сходство математической символики с описанием образа. Представить, насколько незаметна граница от иллюзии к направлению реального понимания можно сопоставив статистическую физику вообще, и видение И. Пригожина в частности.
Соблазнительность иллюзий в математике рельефно прослеживается на таком общеизвестном примере. Диофант очень серьезно занимался определением (по возможности – расширением) границ применимости математических приемов. По поводу одного из исследуемых им уравнений
xn + yn = zn, где n – целое число, большее двух,
Ферма высказал предположение (теорема), что оно не имеет решений в целых положительных числах.
Причем, уже тогда было понятно, что теорема не доказуема в рамках известной математики. Т.е., математика не властна в абсолютной мере даже над своими “солдатами” - числами (алгебраическими числами). Казалось бы – ну это же нормально. Так должно и быть. Ведь, как уже было сказано, математика – всего лишь одна из разновидностей разложения образа на символьные описания (абстракции). Она в принципе не может быть неограниченно применимой. А ведь числа, в данном случае, рассматриваются Диофантом как объекты. Здесь уместно, и даже может быть интересно немного “расшифровать”. (Высказывания об ограниченности применения “численного анализа” (мягко говоря) к описанию физических объектов не так уж и редки. Однако, в нераскрытом виде они сами по себе выглядят как “безграничные” (запредельные) ограничения. Хотя, можно ведь и понять их авторов.)
Ведь смысл коллизии в том, что свойства объекта (“целый/нецелый”) в данном случае переносятся (прилагаются) к абстракции – числам. Что в принципе противоречит определению самой математики. Т.е., мы как раз и видим достаточно типичный пример генерирования “псевдообъекта” внутри абстракций. При том, не является спасительным то обстоятельство, что подобного рода софизмы отнюдь не во всех случаях приводят к столь категоричному результату. Просто, в данном случае слишком близко оказалась граница применимости самой математики. И очень хорошо, что некоторые из таких ограничений так очевидно показаны в работах Диофанта, Ферма, и других авторов. Так ведь образовался целый комитет, который даже назначил международную премию за “доказательство” теоремы (высказывания, на самом-то деле) Ферма. Правда, в конце концов, комитет “квалифицировали” как непрофессиональный, а наиболее авторитетные международные институты отказались поддерживать (признавать) назначенную за “доказательство” премию. При всем при этом, широкой публике “теорема” Ферма известна как сияющая непокоренная вершина, а не как один из участков естественной границы возможностей математики. Более того. Даже и сейчас довольно часто в материалах для школьных олимпиад можно заметить попытки подсунуть “потенциальным гениям” теорему Ферма для доказательства! А вдруг что получится? Это уже что-то, граничащее с наркотической романтикой. При этом ведь никому и в голову не придет отправить ребенка охотится на реального тигра с бумажным ружьем! А вот преподносить математику как инструмент “для всего” - это в порядке вещей.
Вышележащей строкой надо бы и закончить “математическую” тематику настоящей статьи. Однако, соблазн привести полностью одну короткую статью из БСЭ перевесил понятное стремление к компактности изложения. Вот статья:
“Гармонические колебания, колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой — синусоидой или косинусоидой (см. рис.); они могут быть записаны в форме: х = Asin (wt + j) или х = Acos (wt + j), где х — значение колеблющейся величины в данный момент времени t (для механических Г. к., например, смещение или скорость, для электрических Г. к. — напряжение или сила тока), А — амплитуда колебаний, w — угловая частота колебаний, (w + j) — фаза колебаний, j — начальная фаза колебаний.
Г. к. занимают среди всех разнообразных форм колебаний важное место, оно определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, в природе и в технике очень часто встречаются колебательные процессы, по форме близкие к Г. к. Во-вторых, очень широкий класс систем, свойства которых можно считать неизменными (например, электрические цепи, у которых индуктивность, ёмкость и сопротивление не зависят от напряжения и силы тока в цепи), по отношению к Г. к. ведут себя особым образом: при воздействии на них Г. к. совершаемые ими вынужденные колебания имеют также форму Г. к. (когда форма внешнего воздействия отличается от Г. к., форма вынужденного колебания системы всегда отличается от формы внешнего воздействия). Иначе говоря, в большинстве случаев Г. к. единственный тип колебаний, форма которых не искажается при воспроизведении; это и определяет особое значение Г. к., а также возможность представления негармонических колебаний в виде гармонического спектра колебаний.
Лит.: Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Лансберга, 3 изд., т. 3, М., 1962; Хайкин С. Э., Физические основы механики, М., 1963.”
В контексте обсуждаемого вопроса, эту статью можно рассмотреть как пример балансирования на грани софизма из желания быть предельно кратким в описании фундаментального явления. Ну что ответить ребенку, если он спросит, почему форма напряжения на выходе электрической турбины “так похожа на синусоиду”? С какого места ему объяснить, что сама-то синусоида – всего лишь очень удачная проекция спицы от тележного колеса, которое катится по дороге? Ну не может спица иметь другую проекцию, кроме той, которая срисована именно с неё. А далее получается и вовсе парадоксальная ситуация – все “воистину гармонические” процессы не могут быть описаны без использования иррационального числа . А парадокс-то всего лишь в том, что это мы не можем абстрактно обозначить проекцию оси тележного колеса без этого символа. Ну, ограничены возможности нашей математики, что ж теперь делать. Главное ведь не в этом. У реального-то генератора концы с концами очень хорошо сходятся. Круглый он. И все. Это уже образ. Вот туда мы сейчас и перейдем.
Кинематограф – “великий немой волшебник” позволил Человеку манипулировать с информацией, наиболее (на время появления кино) приближенной к реальным образам. И совершенно не случайно эффективной формой обучения сейчас считаются соответствующие фильмы, либо аудио записи, если речь идет об обучении языкам. Уместно вспомнить здесь и высочайшую популярность программы “Дискавери”, ставшую учителем для десятков (если не сотен) миллионов людей, которые, может быть, уже давно сами для себя решили, что курс их обучения полностью завершен. Здесь, кстати, мы касаемся очень интересного свойства сложно организованного живого организма – получать удовольствие от узнавания нового. В целом, это свойство имеется не только у Человека. И само по себе наличие такого качества у высокоорганизованных (со сложной психикой) животных чрезвычайно интересно. Вернемся, однако, к способам отображения реальных объектов именно в рамках человеческого сознания.