Апории Зенона и первая теоретическая постановка проблемы бесконечности (стр. 1 из 3)
Выполнил: Лещёв Денис
Южно-Уральский Государственный Университет
Челябинск
2004
1. Введение. К проблеме апорий в науке.
Двадцать четыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе так называемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, - подчеркивала С. Яновская, - и в наши дни нельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основания математики, вообще начал точного естествознания.
Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации его аргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.
2.1. Апории относительно множества. Первая теоретическая постановка проблемы бесконечности.
2.1.1. Дошедшие до нас апории Зенона.
Дошедшие до нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается» существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая, то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность; в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логике понятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.
К апориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признание бытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то их должно быть столь много, сколько их есть, - не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны, если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуют другие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.
Оставаясь на позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся с помощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивость апории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью о фиктивной бесконечности количества элементов космического универсального множества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество. С этой целью сформулируем апорию в виде, удобном для формализации: «Если в мире существует многое, то оно одновременно и конечно, и бесконечно». Обозначив предикаты «быть многим» S(x), «быть конечным» через P(x), а «быть бесконечным» через ùP(x), вышепроизведенное высказывание мы можем выразить следующим образом:
"x ( S(x) ® (P(x) ÙùP(x)) )
Перед нами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал вывод вообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не в том, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременно конечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил о немыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовало отрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даже невозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечное многое – подлинная реальность.
Но как только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме как отвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекает противоречащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенон не сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще не утихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечных множеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оно одновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средств опровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнением и поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался от признания многого в бытии, не поверил в его существование.
К сожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальный характер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реально существующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально не существует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить вывод о существовании многого при признании не только конечности, но и актуальной бесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все еще неразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противном случае надо открыто выразить недоверие последней.
2.1.2. Апория «о месте» и «метрическая апория».
К рассмотренной апории примыкают приводимые Аристотелем зеноновские апории «о месте» и «метрическая». Первую Аристотель излагает так: «…если все существующее помещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет в бесконечность».
Аристотель писал: «ничто ведь не препятствует, чтобы первичное место было в другом… не как в месте, а так, как здоровье заключается в теплом как свойство, а теплое в теле как состояние. Таким образом, нет необходимости идти в бесконечность».
Разъяснения Аристотеля о месте как о некотором состоянии вещи или даже о свойстве некоторого состояния нельзя признать удачной аргументацией.
Пример с теплом как «свойством здоровья» не избавляет от требования «места месту», если место как-то подобно теплу, ибо тепло, как и любое состояние вещи, «разлить по всей вещи», и вместе с ней занимает то же самое место, что и вещь, обладающая этим состоянием.
Рассуждения, аналогичные по своей структуре только что рассмотренной апории, встречаются и в современных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный ряд чисел порождается из «ничего» (из Ø) посредством того, что сначала рассматривается Ø; затем множество {Ø}, единственным элементом которого является Ø; далее множество {Ø, {Ø}} и так далее.
А возражения, которые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, родственны возражениям Аристотеля – они основаны на том, что нельзя и мысленно объединить во множество вещи, которые не существуют раздельно друг от друга.
2.1.3. Логическая структура апорий данного типа
может быть представлена конъюнкцией:
"x ( S(x) ® P(x) ) Ù
х ( ùS(x) Ù P(x) ),обнаруживающей нарушение принципа логической непротиворечивости мысли, где S(x) – знак предиката «быть вещью» или «быть подлинным (не равным Ø) множеством», P(x) – «обладать местом», или «быть множеством вообще».
Уход в бесконечность в анализируемых апориях – результат приведенной логической некорректности в сфере мысли. Некорректность такого рода выражена уже, например, в заявке строить натуральный ряд чисел, не опираясь ни на что. На самом же деле вместо абстракции «ничто» при таких построениях используются знаки Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}} и так далее, то есть опять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ø») вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения натурального ряда из «ничего».
В тесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория Зенона, то есть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого из «ничего». Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше, соответственно меньше, тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причем существующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличения ни при каких обстоятельствах».
«Данная апория, - пишет Ю.А. Петров, - вскрывала трудности, связанные с представлением конечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых. Эти неделимые в свою очередь представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма полагалась равной нулю, из чего следовало, что тело, имеющее измерение, лишено измерения. Если же неделимые представлялись имеющими измерение, то тело большим по величине. В обоих случаях получались противоречия».
Перед нами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, ибо связана она с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленных по предположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек» и «мгновений».
2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.
Ещё со времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости понимания протяженного континуума как совокупности непротяженных элементов. Этим вопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие мыслители, как Аристотель, Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц, Кантор, У. Джеймс, Бриджмен и другие. Так, например, Бриджмен, писал: «если бы линию понимали так, что она буквально состоит из совокупности точек нулевой длины, а интервал времени представляет собою сумму неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание было бы парадоксальным».