Затем пифагорейцы приглашали новичка свободно высказаться, не стесняясь оспаривать их мнения. В восторге, что его так любезно слушают новичок начинал разглагольствовать. В это время появлялся Пифагор, чтобы проследить за его жестами. Древний философ придавал особое значение смеху и походке молодых людей. «Смех, - говорил он, - самое несомненное указание на характер человека». Он считал, что смех не сможет скрыть характер злого.
Пифагорейские сообщества были разбросаны по десятку городов Южной Италии, а затем собственно Греции, и совместные занятия, равно как и общее руководство были в этой ситуации невозможны. Маловероятно, чтобы даже в Кротоне времени Пифагора занятия носили регулярных характер и касались всех членов общества.
Пифагорейцы, как и Платон, придавали большое значение воспитанию и образованию юношества и разработали обширную систему педагогических методов. Но хотя в пифагорейском обществе и практиковалось обучение, оно было создано не для этого. Не совместные занятия ради достижения мудрости были его главной целью - ведь подавляющее большинство пифагорейцев не имели отношения к философии и науке.
Древний философ стремился развить в своих учениках, прежде всего, интуицию. Ведь мудрость есть понимание источника, или причины всех вещей, и может быть достигнута только поднятием интеллекта до той точки, где он интуитивно осознает невидимые явления, направленные через видимые, становясь, таким образом, способным к общению скорее с духами вещей, нежели с их формами. Эта способность и есть интуиция.
Развивая в своих учениках способность интуитивно познавать мир, Пифагор исходил из естественных чувств человека и основных обязанностей при по вступлении в жизнь и показывал соотношение последних с мировыми законами. Запечатляя в сердцах молодых людей любовь к родителям, Пифагор расширял это чувство отождествлением отца с идеей Бога, а мать - с идеей Природы.
Но на данном этапе Пифагор считал, что идея Единого Бога, Верховной истины, будет непонятна ученикам. Поэтому им давалось лишь предвидение ее, перенесенное на музыку и числа.
Пифагорейская теория чисел
Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Аристотель писал: «Пифагор признал математические начала за начала всего сущего».
Философская истина переносится им на музыку и числа. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей.
Именно наука числе может обладать ключом жизни и сути бытия.
Проникая в свойства чисел, объясняя их различные сочетания, Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и с удивительной чуткостью выявил свойства чисел каждой группы. Четные числа обладают следующими свойствами: любое число может быть разделено на две равные части, обе из которых либо четны, либо нечетны. Например, 14 делится на две равные части 7 + 7, где обе части нечетные; 16 = 8 + 8, где обе части четные. Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была дуада, неопределенным и женским. «Четные числа, допускавшие раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное явление», - писал Аристотель. Так число получало характер, теряло вечное, абстрактное начало.
Четные числа Пифагор делили на 3 класса: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-нечетные.
Первый класс составляют числа, которые представляют собой удвоение чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1,2,4,8,16,32,64,128,512 и 1024. Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться пополам и еще раз, и так далее до получения единицы.
Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов1, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. К примеру, сумма четырех терминов (1+2+4+8) равна пятому термину - 16 минус один, то есть 15.
Ряд четно-четных чисел имеет и такое свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число, которое будучи умножено само на себя даст последнее число в ряду.
Четно-нечетные числа - это числа, которые будучи разделены пополам не делятся. Они образуются следующим образом: берется нечетное число, умножается на 2, и так весь ряд нечетных числе. В этом процессе 1,3,5,7,9,11 дают четно-нечетные числа 2,6,10,14,18,22. Таким образом, каждое такое число делится на два один раз и больше делиться не может. Другая особенность этого класса чисел состоит в том, что если делитель - нечетное число, частное - всегда будет четным, и наоборот. Например, если 22 разделить на 2, четный делитель, частное 11 будет нечетно.
Данный класс числе примечателен еще и тем, что любое число в ряду является половиной суммы терминов по обе стороны его в ряду: 18 есть 1/2 суммы 14 и 22 (чисел стоящих от данного числа по обе стороны).
нечетно-нечетные числа является компромиссными между четно-четными и четно-нечетными числами. В отличие от четно-четных они не могут последовательным делением привести к 1, и в отличие от четно-нечетных они позволяют более чем однократное деление пополам. Нечетно-нечетные числа получаются следующим образом: умножая четно-четное число (больше 2) на нечетное число. Другие нечетно-нечетные числа образуются умножением ряда нечетных чисел на 4 и далее на весь ряд четно-четных чисел.
Четные числа разделяются на три других класса: сверхсовершенные, несовершенные и совершенные.
Сверхсовершенные числа - это такие числа, сумма дробных частей, которых больше их самих. Например, 24 имеет суммой своих дробных частей 12+6+4+8+3+2+1 число 33, что превышает 24, исходное число.
Несовершенными Пифагор называл числа, сумма дробных частей, которых меньше его самого. Например, число 14 сумма его дробных частей 7+2+1=10, что меньше 14.
Совершенное число - это такое число, сумма дробных частей которого равна самому числу. Такие числа чрезвычайно редки. Есть только одно число между 1 и 10, а именно 6; одно между 10 и 100 - число 28, одно между 100 и 1000 - 496, одно между 1000 и 10000 - 8128. Совершенные числа находят следующим образом: первое число ряда четно-четных чисел складывается со вторым числом ряда, и если получается простое число, оно умножается на последнее число ряда четно-четных чисел, участвовавших в образовании суммы. Если сложение четно-четных чисел не приводит к несоставному числу. Например, первые два числа четно-четного ряда (1,2) в сумме 3, которое умножается на 2 и получаем 6, первое совершенное число. Совершенные числа, будучи умноженными на 2, дают сверхсовершенные числа, а будучи разделенными пополам - несовершенные.
Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Совершенные числа, считали они есть прекрасные образы добродетелей. Они представляют собой середину между излишеством и недостатком. Они очень редки и порождаются совершенным порядком. В противоположность этому сверизобильные и несовершенные числа, которых сколь угодно много, не расположены в порядке и не порождаются с некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, неупорядочены и неопределены.
Нечетные числа не могут быть разделены равным образом, то есть поровну. Пифагор объяснял неспособность таких чисел делится пополам следующим образом: поскольку 1 всегда остается не делимой, нечетное число таким же образом не может быть делимым. Если нечетное число попытаться разделить поровну, то получается два четных числа, а последнее из них единица, которая является неделимой. Например, 9 есть 4+4+1.
Нечетные числа имеют и такое свойство - если какое-либо нечетное число разделить на две части, одна всегда будет четной, а другая - всегда нечетной.
Пифагорейцы рассматривали нечетное число, прототипом которого была монада, определенным и мужским, хотя по поводу 1 (единицы) среди них существовали определенные разногласия. Некоторые считали его положительным, потому что, если его добавить к нечетному число, оно станет четным и, таким образом, рассматривается как андрогенное число, совмещающие как мужские, так и женские атрибуты, значит оно и четно и нечетно.
Обычаем у пифагорцев было приношение высшим богам нечетного числа предметов, в то время как богиням и подземным духам приносить четное число.
Нечетные числа делятся на 3 общих класса: несоставные, составные и несоставные - составные.
Несоставные числа - это такие числа, которые не имеют других делителей, кроме себя самого и единицы. Это числа 3,5,7,11,13,17 и т.д.
Составные числа - это числа, делимые не только сами на себя, но и на некоторые другие числа. Такими числами являются те из нечетных чисел, которые не входят в группу несоставных. Это числа 9,15,21,25,27,33,39 и т.д.
Несоставные-составные числа - эта числа, не имеющие общего делителя, хотя каждое из них делимо. Если взять два числа и обнаружить, что они не имеют общего делителя, такие числа можно назвать несоставными-составными числами. Например, числа 9 и 25. 9 делимо на 3, а 25 на 5, но ни одно из них не делимо на делитель другого, они не имеют общего делителя. Несоставными-составными они называются потому, что каждое из них имеет индивидуальный делитель, а поскольку эти числа не имеют общего делителя, они называются несоставными. Таким образом, несоставные-составные числа обнаруживаются только попарно друг с другом.
Для определения составных от несоставных нечетных чисел был придуман Эратосфеном1 математический прием.
Суть этого приема состоит в следующем: все нечетные числа упорядочиваются по величине, как показано на второй внизу таблице, названной «нечетные числа». Из таблицы видно, что каждое третье число, начиная с 3, делится на 3, каждое пятое - на 5, седьмое - на 7 и т.д. до бесконечности. Этот процесс отсеивает простые числа, то есть те, которые не имеют других делителей, кроме себя и единицы.