Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи между ними в процессе математического познания и исследования оснований обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и сам Рассел.
С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно покажем в последней главе, предметом изучения современной математики являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той особенностью, что в рамках математического исследования они могут рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов, которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур являются количественные отношения и пространственные формы, которые изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами, числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода, как это делается в математической логике.
При рассмотрении вопроса о соотношении логики и математики нередко возникают недоразумения в силу неоднозначности употребления самого термина «логика».
Во-первых, можно говорить о логике как науке, изучающей законы правильного мышления. В этом смысле логика понимается как исследование структур и форм мысли и поэтому справедливо называется формальной логикой.
Во-вторых, в рамках самой формальной логики можно выделить такую важную и доминирующую ее отрасль, как теория дедуктивного вывода, и соответственно говорить о дедуктивной логике.
В-третьих, нередко под логикой понимают применение математических методов для построения формальной теории дедуктивного вывода. Для этого обычно строятся различные формально-логические системы, или языки, с помощью которых оказывается возможным точно выразить логические взаимосвязи между высказываниями в процессе вывода. Поскольку при этом высказывания рассматриваются как некоторые дискретные объекты, то в принципе вполне допустимо интерпретировать отображающие их формальные системы с помощью объектов нелогической природы. Хорошо известно, например, что исчисление высказываний интерпретируется с помощью релейно-контактных схем и других технических устройств. Этот пример показывает, что в данном случае речь действительно идет о применении некоторых общих формальных методов к логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасль исследований получила название математической логики.
В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем, которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и тесно связанных с ней проблем, например определения терминов и понятий, семантической теории значений и т. п. В этом смысле часто говорят, например, о многозначной, модальной, вероятностной, эпистемической, нормативной и других логиках. Подобного рода не-классические логики анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием философской логики.
Какую же логику имеют в виду Рассел и его последователи, когда говорят о дедукции из нее чистой математики?
Как мы уже видели, для такой дедукции у Фреге используется формальная система «Основных законов арифметики», а у Рассела и Уайтхеда — логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят о логике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в виде формализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом случае идет о логике в четвертом значении термина «логика». При этом важно обратить внимание на то, что в такой системе логические термины и принципы строго не отделены от математических, а иногда отдельные принципы вроде аксиомы бесконечности и свободного выбора без какой-либо аргументации объявляются логическими, хотя большинство математиков относит их к теории множеств, а следовательно, к математике.
Если бы логицисты под логикой понимали математическую логику в собственном смысле этого слова, т. е, подразумевали под ней применение математических методов к логике, что соответствует третьему значению термина «логика» в вышеприведенной классификации, тогда было бы невозможно вывести из нее чистую математику. К тому же при таком понимании следовало скорее рассматривать саму логику или по крайней мере ее формально-логические системы как часть математики, кав науки об абстрактных структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалисты и интуиционисты.
Таким образом, несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г. Фреге и Б. Расселом на ранней стадии эволюции этого направления, подтверждается не только чисто научными, логико-математическими аргументами, но более общими, философскими соображениями. Вот почему логицизм в той форме, в какой он был сформулирован Б. Расселом и который часто называют радикальным, в настоящее время утратил прежнюю популярность.
В 60-е годы известный американский логик и математик Алонзо Чёрч на Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки предложил новый вариант логицизма, который можно назвать умеренным логицизмом". Радикальный логицизм, по мнению Чёрча, характеризует отношение между логикой и математикой, исходя из двух основных принципов:
(1) все математические понятия могут быть определены в терминах чисто логических понятий или, как предпочитает говорить Чёрч, «математический словарь есть
часть логического словаря»;
(2) все математические предложения (аксиомы, постулаты) могут быть выведены из чисто логических законов посредством использования чисто логических способов рассуждения.
Чёрч считает, что второй принцип радикального логицизма оказался несостоятельным и поэтому математику нельзя рассматривать буквально как часть логики. Что касается первого принципа, то он склоняется к мнению, что утверждение о том, что математический словарь есть часть логического словаря, подтверждается всем ходом исследований по основаниям математики. Такое заявление, хотя и не говорит о том, что математика буквально составляет часть логики, но оно устанавливает первичность логики по отношению к математике в смысле предшествования. Это значит, что никакой математический термин, утверждение и доказательство не могут быть осмысленными, если не будут осмысленны соответствующие логические термины. Поскольку обратное не имеет места, то в строгом смысле здесь можно говорить о первичности логики по отношению к математике только в смысле обоснования, т. е. логика необходима для построения математики.
Что же касается заявления умеренного логицизма о том, что математический словарь составляет часть логического словаря, то обоснованность его зависит от ответа на главный вопрос: определимо ли понятие множества (или класса) и некоторые тесно связанные с ним теоретико-множественные понятия в чисто логических терминах? Рассел и его последователи считают понятие множества понятием логики и соответственно этому рассматривают теоретико-множественные аксиомы, в том числе и аксиому бесконечности, как логические аксиомы. Сторонники умеренного логицизма, хотя и отвергают полное отождествление теории множеств в его аксиоматической форме с логистической системой, тем не менее молчаливо допускают экспликацию понятия множества в чисто логических терминах. Некоторые вообще считают этот вопрос чисто терминологическим. Большинство же творчески работающих математиков и специалистов по ее основаниям выступают против растворения теории множеств в логике. Конечно, подобного рода вопросы нельзя решать путем подсчета голосов.
Какие же аргументы можно выдвинуть в пользу того, что понятие множества, хотя и является весьма общим и абстрактным, но тем не менее специфично именно для математики, а не для логики?
Во-первых, понятие множества, как и формализующие его аксиоматические системы, можно интерпретировать с помощью объектов самой различной природы. Логические же термины во всех интерпретациях имеют одно и то же значение. Это, разумеется, не значит, что эти термины и логические связки, такие, как отрицание, конъюнкция и т. п., во всех логических системах, например классической и конструктивной, понимаются одинаково. Но если мы выбрали определенную логику, то ее термины, операции и правила вывода должны пониматься всегда одинаково, независимо от интерпретации других математических терминов.