Философские вопросы математики (стр. 2 из 4)
Установление математических фактов, например, не путем эмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, а с помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем не означает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится в отличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различии объективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценности математики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективное содержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задача состоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.
2. Проблема существования в современной математике.
В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования.
Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют
, n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируя гегелевские "Лекции по истории философии", В.И.Ленин обращает внимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математических объектов. "Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, - тело не имеет никакого сходства с последним" [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением, вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очную ставку с чувственно воспринимаемой действительностью.
Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со "второй реальностью", а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.
Некритический подход к проблеме существования таит в себе немалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математических объектов: "Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было" [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания, что "материя исчезает, остаются одни уравнения". [16; 76]
Но привычка обращаться с математическими объектами так, как будто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика, вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.
А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики" ("Научное слово", 1929, №6) и Г.Вейль в книге "О философии математики" (М.-Л., 1934) прямо указывают на то, что именно такая привычка обращаться с математическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении математических теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.
Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики.
При наивном понимании проблемы существования в математике, при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе, интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание
не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.Немецкий математик Л.Кронекер, а также представители парижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему они только и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию "полуинтуиционистской" [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.
Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими определениями натуральных чисел - числа К и числа Е.
"I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1 также простое. Если такого числа нет, то К=1.
II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 также простое. Если такого числа нет, то Е=1." [16; 84]
Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Если число К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема "близнецов" не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общей форме: "Существовать" должно означать то же самое, что "быть построенным" [6; 11].
На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.
В конструктивной математике отрицают так называемые “чистые” теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.
В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе “О критике классической математики” [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.
Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. "В математике существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от противоречия" [18; 124].
Представление о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов. В своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]