Пусть R (x, y, ..., u) – предикат, определённый на поле M. Введём обозначение
R (
x, y, ..., u).
Под этим выражением мы будем понимать предикат, зависящий от y, z, ..., u (или высказывание, если, y, z, ..., u отсутствуют) и принимающий значение И, когда R (y, z, ..., u) имеет значение И для данных y, z, ..., u и для всех x, принадлежащих полю

, и принимающий значение
Л в противоположном случае. Введём также выражение
R (
x, y, ..., u),
которое представляет собой предикат от y, ..., u и принимает значение И, когда R (x, y, ..., u) имеет значение И для y, ..., u и по крайней мере для одного значения x из поля

, и значение
Л в противоположном случае. Знаки

и

будем называть
ограниченными кванторами. Если мы все переменные предиката
R (
x, y, ..., u) свяжем ограниченными кванторами, например

...
R (
x, y, ..., u),
то получим формулу, отнесённую к полю

. покажем, что выражение
("x) R (

(
х)
, y, ..., u)
равносильно выражению
R (
x, y, ..., u).
Пусть ("x) R (

(
х)
, y, ..., u) имеет значение
И. В таком случае
R (

(
х)
, y, ..., u) имеет значение
И для данных
y, ..., u и для каждого
x. Но так как функция

(
х) пробегает всё поле

, когда
x пробегает поле M, то
R (
x, y, ..., u) имеет значение
И для данных
y, ..., u и для всех
x из

. В силу определения
R (
x, y, ..., u) также принимает значение
И. Обратно, если
R (
x, y, ..., u) принимает значение
И, то
R (
x, y, ..., u) имеет значение
И для данных
y, ..., u и для каждого
x из

. В таком случае выражение
R (

(
х)
, y, ..., u) имеет значение
И для данных
y, ..., u и для каждого
x из M, так как

(
х) для любого
x принадлежит

.
Аналогичным образом можно показать, что выражения
(

)
R (

(
х)
, y, ..., u) и (

)
R (
x, y, ..., u)
также равносильны.
Рассмотрим формулу U(

, ...,

), которую можно представить в форме
(s x1)(s x2)...(s xp) B(

, ...,

,
x1, ...,
xp).
B(

, ...,

,
x1, ...,
xp)
представляет собой предикат, определённый на поле M и зависящий от p переменных x1, ..., xp. Каждое из этих переменных входит в формулу B только через предикаты

, ...,

. С другой стороны, мы видели, что предикаты

(
х) и

(

(
х)) равносильны. Поэтому если в формуле B(

, ...,

,
x1, ...,
xp) мы заменим
xi на

(
хi), то получим равносильное выражение:
B(

, ...,

,
x1, ...,
xp) ~ B(

, ...,

,

(
x1), ...,

(
xp)).
Отсюда следует, что
(s xp) B(

, ...,

,
x1, ...,
xp) ~ (
s xp) B(

, ...,

,

(
x1), ...,

(
xp)).
Далее можно заключить, что
(s xp) B(

, ...,

,

(
x1), ...,

(
xp)) ~
~

B(

, ...,

,

(
x1), ...,

(
xp-1),
xp).
Рассуждая аналогичным образом, мы получим
(s xp-1) (s xp) B(

, ...,

,
x1, ...,
xp-1 , xp) ~
~

B(

, ...,

,

(
x1), ...,

(
xp-2),
xp-1,
xp)
и, наконец, придём к следующему:
(s x1)(s x2)...(s xp) B(

, ...,

,
x1, ...,
xp) ~
~

B(

, ...,

,
x1, ...,
xp).