Пусть формула U(A1, ..., An), содержащая только символы предикатов A1, ..., An, каждый из которых зависит от одного переменного, выполнима на некотором поле M. эту формулу мы можем предполагать представленной в нормальной форме, а все предметные переменные в ней связанными. В самом деле, какова бы ни была формула U, мы можем, произведя над ней преобразования, привести её к виду, в котором все кванторы предшествуют остальным символам формулы, при этом состав её предикатов и предметных переменных не изменяется. Если в U есть свободные предметные переменные, то можно связать их квантором общности.
Итак, допустим, что U – нормальная формула. Тогда мы можем представить её следующим образом:
(s x1)(s x2)...(s xp) B(A1, ..., An, x1, ..., xp),
где каждый из символов (s xi) обозначает квантор ("xi) или ($xi), а формула
B(A1, ..., An, x1, ..., xp)
кванторов не содержит.
В формуле B(A1, ..., An, x1, ..., xp) все переменные x1, ..., xp входят в предикаты A1, ..., An, и её можно записать в виде
B(A1(

), ...,
An(

)),
где i1, ..., in – числа от 1 до p. Однако, будет удобнее пользоваться выражением
B(A1, ..., An, x1, ..., xp),
если иметь в виду, что B является логической функцией предикатов Ak, а каждый предикат Ak зависит от какого-то одного переменного

.
Покажем, что если для некоторого поля M существуют индивидуальные предикаты

,...,

,
для которых формула U(

,...,

) истинна, то эта формула истинна и на некотором подмножестве этого поля, содержащем не более

элементов, так как иначе наше утверждение тривиально. Разобьём элементы множества M на классы следующим образом. Для каждой последовательности, содержащей n символов
И и
Л в произвольном порядке (
И,
Л,
Л, ...,
И,), существует часть (может быть, пустая) множества M, содержащая те и только те элементы
x, для которых последовательность значений предикатов

(
x),

(
x), ...,

(
x) совпадает с данной последовательностью символов
И и
Л.
Обозначим через
1,
2, ...,
nпоследовательность символов И и Л, где
i представляет собой
И или
Л, а соответствующий этой последовательности класс элементов
x обозначим

,

, ...,

.
Некоторые из этих классов могут оказаться пусты, так как может случиться, что для некоторой последовательности
1,
2, ...,
n не существует такого элемента, для которого предикаты

,

, ...,

принимают соответствующие значения
1,
2, ...,
n . Вместе с тем каждый элемент множества M принадлежит одному из классов

, и различные классы общих элементов не имеют. Число всех классов (пустых и непустых) равно числу последовательностей
1,
2, ...,
n, т. е.

. Следовательно, число q непустых классов

не превышает

. Выберем из каждого непустого класса по одному элементу и обозначим эти элементы
a1, a2, ..., aq.
Множество всех этих элементов обозначим

.докажем, что если формула U(

, ...,

) истинна на поле M, то она истинна и на поле

(так как

– часть поля M, то предикаты

определены на

). каждому элементу
x поля M поставим в соответствие элемент из

, принадлежащий тому же классу, что и
х. В

существует один и только один такой элемент. Элемент из

, поставленный в соответствие
х, обозначим

(
х). Можно сказать, что мы построили функцию, определённую на множестве M и принимающую значения из множества

.

Легко видеть, что имеет место следующая равносильность:

(
х) ~

(

(
х)).
Действительно,

(
x) принадлежит тому же классу

, что и
x. Но, по определению, для элементов одного и того же класса каждый предикат

принимает одно и то же значение. Отсюда следует, что если в формуле U(

, ...,

) для каждого предметного переменного
t заменить каждое выражение

(
t) через

(

(
х)), то формула U(

, ...,

) перейдёт в формулу

(

, ...,

), равносильную первой. Написание формулы

отличается от U только тем, что все предметные переменные
x, y, z, …, u формулы U замещены соответственно через

(
х),

(
y), ...,

(
u). Это следует из того, что по условию формула U(

, ...,

) содержит только предикаты

, и поэтому всякое предметное переменное входит только под знаком одного из этих предикатов.