Автоматизированное управление в технических системах (стр. 4 из 6)
Рассмотрим задачу определения значений Qo и tQ - для двух моделей: для модели без страховых запасов и для модели со страховыми запасами.
Модель без страховых запасов
Предполагается, что U и V ( u>V) - постоянные величины, и в момент полного исчерпания запасов начинается новая поставка, т.е. дефицит продукта не допускается. Графически действие такой модели изображено на рис.3.1.
Уровень запасов в течение полного цикла tQ движения запасов, начинающийся в момент времениt = 0 можно описать следующим образом:
(3.1.)  |
Примем во внимание следующие очевидные соотношения:
(3.2.)где Q - объем заказа.
С учетом (3.2) выражение (3.1) можно переписать в виде
(3.3.)Определим средний объем запаса Q за цикл - tQ:
(3.4.)Тогда среднее время хранения единицы запасенного продукта равно
Пусть b, руб./(шт.ед.вр.), есть затраты на хранение единицы продукта в единицу времени. Тогда за цикл tQ удельные затраты на хранение единицы запасенного продукта, руб./шт., составят
(3.5.)Удельныезатраты на создание в запас единицы продукта,руб./шт., равны
(3.6.)Тогда суммарные расходы на создание и хранение единицы запаса, руб./шт., в течение цикла tQ составят
(3.7.) 
Если изобразить графически зависимость затрат на создание и содержание запасов от объема заказа Q (рис.3.2), то нетрудно убедиться, что суммарная кривая C(Q) имеет экстремум, положение которого определяется соответствующими значениями величин правой части соотношения (3.7). Определим оптимальный объем заказываемой партии Q0. из условия
(3.8.)Решая (3.8), получим
(3.9.)Если постановка осуществляется мгновенно, т.е.l= 0 и U = ¥, оптимальный объем пратии равен
(3.10.)Из сопоставления (3.10) и (3.9) следует, что при постепенной поставке заказа объем заказываемой партии должен быть больше.
Величина удельных дополнительных расходов при оптимальном объеме заказа q0равна
(3.11.)Наконец, оптимальная величина интервала между соседними заказами составляет
(3.12.)Модель со страховым запасом
Графически действие этой модели изображено на рис.3.3., Привлекая рассуждения, которые использовались при рассмотрении предыдущей модели, нетрудно получить следующие результаты. Средее количество запаса Qср за цикл tQ составит
(3.13)  |
При постоянной скорости расходования запасов V среднее время хранения единицы запасенного продукта равно
(3.14.)Это выражение отличается от значенияtсp для предыдущей модели наличием постоянного слагаемого Qcp/V . За цикл tQ удельные затраты на хранение единицы запасенного продукта, руб./шт., определяются по формуле
(3.15.)Удельные затраты за цикл на создание в запас единицы продукта, руб./шт., равны по-прежнему
(3.16.)В (3.16) не входят расходы на образование QCTP, поскольку страховой запас создается однажды и циклически не возобновляется. Дополнительные расходы на запасание и хранение единицы, руб./шт., для заказа объемом Q составляют
(3.17.)Переменная С. в (3.17) имеет экстремум по Q и величина экстремального значения C0 , очевидно, отличается от (3.11) на постоя ную величину bQстр/V
Приравняв нулю производную dc/dQ, , получим:
откуда
(3.18.)Следовательно, оптимальный объем заказываемой партии в модели со страховым запасом такой же, как и для модели без страхового запаса. Это означает, что и выражение для оптималвного интервала восполнения заказов имеет прежний вид
(3.19.)Величина удельных дополнительных расходов Cо , соответствую щих Q0 равна
(3.20.)что отличается лишь постоянным слагаемым bqстр/V от расходов для модели с
нулевым страховым запасом.
В модели страховых запасов весьма существенным является вопрос определения оптимального уровня страхового запаса QoстрДля определения Qстр необходимы предположения о вероятностном поведении задержек пополнения запасов Dt и потерях заказчика в результате этих задержек.
Предположим, что задержка Dt в выполнении данного заказа не зависит от задержек выполнения других заказов. Кроме того, предположим, что вероятность того, что эта задержка превзойдет время t , выражается экспоненциальной зависимостью, т.е.
Тогда
Плотность вероятности случаной величины Dt имеет вид
Для экспоненциального распределения
, ед. вр. и, следовательно, g выражается в 1/ед. вр. Физически параметр g соответствует среднему количеству задержек в единицу времени, а величина 1/g есть средняя продолжительность задержки Dt. Предположим далее, что потери заказчика в единицу времени простоя равны В руб,/ед.вр.Время, в течение которого хватит страхового запаса для работы с прежним расходом V , равно
Если задержка Dt > tстр , то заказчик начинает нести потери вследствие простоя. Величина этих потерь равна В(t-tстр). Величина средних потерь заказчика вследствие простоев определяется математическим ожиданием случайной величины которое можно представить в виде
Рис. 3.4
Плотность вероятности случайной величины Dt > tстр изображена на рис.3.4. Следовательно, для В можно записать
В расчете на единицу заказанного продукта удельные средние потери, руб./шт., вследствие простоев равны
Дополнительные удельные расходы, руб./шт., на хранение единицы страхового запаса есть
Таким образом, общие удельные (на единицу продукта) расходы по хранению страхового запаса плюс средняя величина удельных потерь за счет возможных задержек выполнения заказов определяются выражением
Из условия можно найти оптимальную величину страхового запаса
Ясно, что размер потерь от простоя объекта в единицу времени должен превышать расходы на хранение запаса объема Q0 в единицу времени, иначе бы эксплуатация объекта стала делом невыгодным, а величина страхового запаса Qctp0 получилась бы отрицательной.
Кроме рассмотренных возможны и более сложные модели образования запасов, например: при различных уровнях оптовых закупочных цен; при ограничениях на оборотные средства, размер складов; при необходимости создавать многономенклатурные запасы;