Определение оптимального режима работы машины и указание рекомендуемый диапазон технологических и конструктивных параметров многоковшового роторного траншейного экскаватора (стр. 3 из 3)
Положим x2-x1= Lи х3 - x2= R, причем L> R, и эти значения будут фиксированы, если известны x1, x2, x3. Если x4 находится в интервале (x1; x2) , то:
1) если f(х4) < f(x2), то новым интервалом неопределенности будет (x1; x2) длинойx2-x1= L;
2) если f(х4) > f(х2), то новым интервалом неопределенности будет (x4; x3) длиной х3 - x4.
Поскольку не известно, какая из этих ситуаций будет иметь место, выберем x4 таким образом, чтобы минимизировать наибольшую из длин х3 - х4 и х2 - x1. Достигнуть этого можно, сделав длины х3 - x4 и х2 - x1 равными, т. е. поместив х4 внутри интервала симметрично относительно точки х2, уже лежащей внутри интервала. Любое другое положение точки x4 может привести к тому, что полученный интервал будет больше L. Помещая х4 симметрично относительно х2, мы ничем не рискуем в любом случае.
Если окажется, что можно выполнить еще одно вычисление функции, то следует применить описанную процедуру к интервалу (х1, х2), в котором есть значение функции, вычисленное в точке x4, или к интервалу (x4; x3) , в котором уже есть значение функции, вычисленное в точке х2. Следовательно, стратегия ясна с самого начала. Нужно поместить следующую точку внутри интервала неопределенности симметрично относительно уже находящейся там точке. Парадоксально, но, чтобы понять, как следует начинать вычисления, необходимо разобраться в том, как его следует кончать.
На n-м вычислении (рис. 5.2) n-ю точку следует поместить симметрично по отношению к (n-1)-й точке. Положение этой последней точки в принципе зависит от нас. Для того чтобы получить наибольшее уменьшение интервала на данном этапе, следует разделить пополам предыдущий интервал. Тогда точка хn, будет совпадать с точкой хп-1. Однако при этом мы не получаем никакой новой информации. Обычно точки хп-1 и хпотстоят друг от друга на достаточном расстоянии, чтобы определить, в какой половине, левой или правой, находится интервал неопределенности. Они помещаются на расстоянии є/2 по обе стороны от середины отрезка Lп-1; можно самим задать величину є или выбрать эту величину равной минимально возможному расстоянию между двумя точками. (Предположим, что в нашем примере инженер может регулировать температуру с интервалом в 1°С, поэтому є = 1.)
Интервал неопределенности будет иметь длину Ln, следовательно, Lп-1= 2 Ln – є (рис. 11, нижняя часть).
На предыдущем этапе точки хп-1 и хп-2 должны быть помещены симметрично внутри интервала Lп-2 на расстоянии Lп-1 от концов этого интервала. Следовательно,
Lп-2 = Lп-1 + Lп (рис. 5.2, средняя часть).
Из рисунка ясно, что на предпоследнем этапе хп-2 остается в качестве внутренней точки.
Аналогично Lп-3 = Lп-2 + Lп-1 (рис. 5.2, верхняя часть)
В общем случае
Lj-1 = Lj+ Lj+1 при 1 < j < n.
Таким образом,
Lп-1 =2 Lп – ε,
Lп-2 = Lп-1+Lп =3Lп – ε,
Lп-3 =Lп-2+Lп-1 =5 Lп – ε,
Lп-4 = Lп-3+Lп-2 =8 Lп – εи т. д.
Если определить последовательность чисел Фибоначчи следующим образом:
F0= 1, F1 = 1 и Fk=Fk-1 + Fk-2 для k= 2,3, … , то
Ln-j=Fj+1.Ln – Fj-1.ε,j= 1,2, … , n-1
Если начальный интервал (а, b) имеет длину L1(= b - а), то
L1=Fn.Ln– ε.Fn-2,
т.е.
Следовательно, произведя n вычислений функции, мы уменьшим начальный интервал неопределенности в 1/Fn раз по сравнению с его начальной длиной (пренебрегая ε) , и это — наилучший результат.
Если поиск начат, то его несложно продолжить, используя описанное выше правило симметрии. Следовательно, необходимо найти положение первой точки, которая помещается на расстоянии L2 от одного из концов начального интервала, причем не важно, от какого конца, поскольку вторая точка помещается согласно правилу симметрии на расстоянии L2от второго конца интервала:
После того как найдено положение первой точки, числа Фибоначчи больше не нужны. Используемое значение е может определяться из практических соображений. Оно должно быть меньше L1/Fn+1, в противном случае мы будем напрасно тратить время на вычисление функции. Таким образом, поиск методом Фибоначчи, названный так ввиду появления при поиске чисел Фибоначчи, является итерационной процедурой. В провесе поиска интервала (х1, х2) с точкой х2, уже лежащей в этом интервале, следующая точка x4 всегда выбирается такой, что х3 - x4 = x2 - x1 или х4 - х1 =х3 - х2, т. е. х4 =x1 - х2 + х3.
Если f(х2) > f(х4) и f(х4) < f(х2), то можно рассмотреть четыре случая, нахождения max функции методом Фибоначчи.
Рисунок 5.3. Четыре варианта расположения точек в интервале поиска max функции методом Фибоначчи
5.2 Определение min значения мощности методом золотого сечения
Не всегда можно заранее определить, сколько раз придется вычислять функцию. В методе Фибоначчи это нужно знать для определения L2, т. е.положения начальной точки.
Метод "золотого сечения" почти столь же эффективен, как и метод Фибоначчи, однако при этом не требуется знать п — количество вычислений функции, определяемое вначале. После того как выполнено j вычислений, исходя из тех же соображений, что и ранее, записываем
Lj-1 = Lj+ Lj+1 .
Однако если п не известно, то мы не можем использовать условие Ln-1 = = 2Ln - ε. Если отношение последующих интервалов будет постоянным, т.е.
т. е. т = 1 + 1/τ.
Таким образом, τ 2 - τ -1 = 0, откуда
. Тогда 
и т. д.Следовательно,
т.е 
Рисунок 5.4 Поиск экстремума функции методом золотого сечения
В результате анализа двух рассмотренных значений функции будет определен тот интервал, который должен исследоваться в дальнейшем. Этот интервал будет содержать одну из предыдущих точек и следующую точку, помещаемую симметрично ей. Первая точка находится на расстоянии L1/τ от одного конца интервала, вторая — на таком же расстоянии от другого. Поскольку
, то видно, чтопоиск методом "золотого сечения" является предельной формой поиска методом Фибоначчи. Название "золотое сечение" произошло от названия отношения в уравнении. Видно, что Lj-1 делится на две части так, что отношение целого к большей части равно отношению большей части к меньшей, т. е. равно так называемому "золотому отношению". 
Рисунок 5.5. Четыре варианта расположения точек в интервале поиска min функции методом золотого сечения
6. Выводы и рекомендации
В процессе расчета оптимальных технико-экономических показателей работы многоковшового роторного траншейного экскаватора был проанализирован характер изменения его от частоты вращения вала n. По мнению наблюдателя определились следующие оптимальные значения технико-экономических показателей при n=0.145:
Qопт=780 м3/ч;
Pопт=21.22 кВт.
Зависимость графика Q(n) строго линейная, что позволяет увеличивать частоту вращения вплоть до значения, при котором производительность максимальна (указана в технической характеристике). Производительность может быть ограничена только потребляемой машиной мощностью изменяющейся в зависимости от частоты вращения и категории грунта.
График зависимости производительности Q и мощности Р от частоты вращения n.
7. Список литературы
1. конспект лекций
2. http://www.baurum.ru/_library/?cat=power_shovels&id=1209
3.Машины для земляных работ. Под общ. ред. чл.-кор. АН УССР проф. Ю. А. В е т р о в а. — 2-е изд., дораб. и доп. — Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1981.— 384 с.
4.http://ru.wikipedia.org/wiki/Роторный_экскаватор
5.http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_золотого_сечения