Состояние и проблемы повышения эффективности работы транспортного хозяйства предприятия, производящего изделия электронной техники, в современных условиях (стр. 4 из 5)
Левые части уравнений (15) образованы строчными , а уравнений (16) – столбцовыми элементами матрицы перевозок (13). В соответствии с условиями (15) и (16) сумма элементов i-й строки матрицы Х должна быть равна ai, а сумма элементов j-го столбца – bj. В дальнейшем будем называть уравнения (15) строчными, (16) – столбцовыми.
Для проверки условий совместности системы (15), (16) проведем суммирование уравнений (15) по индексу I, а (16) – по j. Получаем равенства
; 
,левые части которых отличаются только порядком суммирования. Следовательно, они равны между собой. Тогда будут равны и правые части
(18)Условие (18) является условием совместимости системы ограничений (15) – (16). Оно выражает требования баланса между суммарными запасами и суммарными потребностями.
Транспортную задачу, для которой выполняется условие баланса (18), называют закрытой задачей. Если же условие нарушено, то задача называется открытой. Здесь возможны два случая:
а) суммарные запасы превышают суммарный спрос;
б) суммарный спрос больше суммарных запасов.
В первом случае после удовлетворения спроса всех потребителей у некоторых поставщиков останется невывезенный продукт, во втором случае поставки для некоторых потребителей будут меньше их потребности.
При построении модели в первом случае для совместности условий строчные ограничения должны быть записаны как ограничения-неравенства, допускающие неполный вывоз имеющегося продукта. Модель примет вид
; (19) 
; 
; 
Аналогично во втором случае неравенствами должны быть выражены столбцовые ограничения, допускающие неполное удовлетворение спроса.
Открытая модель легко сводится к эквивалентной ей закрытой модели. Так, в первом случае введем фиктивный потребитель с величиной спроса
и установим стоимости перевозок от каждого поставщика к фиктивному потребителю равными нулю. В результате получим закрытую транспортную задачу, решение которой будет решением исходной открытой задачи. В любом плане данной закрытой задачи спрос всех реальных потребителей будет удовлетворен полностью, так как спрос фиктивного потребителя равен имеющемуся избытку продукта. Поэтому совокупность перевозок к реальным потребителям дает план исходной открытой задачи, а значения фиктивных перевозок – объемы продукта, остающегося у соответствующих поставщиков. Поскольку расходы на перевозки к фиктивному потребителю равны нулю, минимум целевой функции в обеих задачах имеет одно и то же значение.
Во втором случае эквивалентная закрытая задача строится введением фиктивного поставщика, запас которого равен избыточному спросу всех потребителей. Решением исходной открытой задачи будет совокупность перевозок от реальных поставщиков ко всем потребителям, а поставки от фиктивного поставщика укажут объем неудовлетворенного спроса соответствующих потребителей.
Транспортная задача относится к задачам математического программирования и чаще всего решается симплекс-методом, который разработан американским математиком Д.Данцигом в 1949г. для задач в канонической форме записи:
; 
; 
, (20)где А – матрица условий задачи размеров
, ранг которой будем всегда считать равным m; 
– вектор-строка коэффициентов целевой функции; 
– вектор-столбец коэффициентов ограничений.Вектор-столбец
, удовлетворяющий условиям 
, , называется допустимым решением или планом, а допустимое решение, доставляющее максимум целевой функции, называется оптимальным решением или оптимальным планом. Множество векторов 
называется областью допустимых решений задачи линейного программирования и является выпуклым.Решение транспортной задачи симплекс-методом, как и любой задачи линейного программирования, состоит из двух этапов. На первом этапе отыскивается некоторый начальный опорный план, на втором осуществляется итерационный процесс его улучшения. Содержанием каждой итерации является проверка имеющегося плана на оптимальность, и в случае его неоптимальности переход к новому опорному плану с меньшим значением целевой функции. Специфика транспортной задачи приводит к существенному упрощению первого этапа, а именно: если в общей задаче линейного программирования построение начального опорного плана выполняется с помощью той же процедуры симплекс-метода, которая применяется и на втором этапе, то в транспортной задаче опорные планы строятся элементарными способами, например методом северо-западного угла. Для этапа проверки оптимальности и перехода к новым опорным планам в транспортной задаче также разработан целый ряд алгоритмов, более простых и удобных по сравнению с общей процедурой симплекс-метода, а иногда и вообще не связанных с нею. Метод потенциалов является разновидностью модифицированного симплекс-метода, приспособленного к особенностям транспортной задачи.
Если рассматривать задачу
; ; 
, (21)как прямую, то в соответствии с теорией двойственности ей можно сопоставить следующую двойственную задачу:
; 
. (22)Компоненты вектора y не ограничены по знаку, потому что прямая задача (1.21) каноническая. Неравенства двойственной задачи становятся нагляднее, если представить двойственный вектор y в виде
, где первые m компоненты ui соответствуют строчным уравнениям (15), последующие n компонент uj – столбцовым уравнениям (16). Число ui принято называть потенциалом поставщика I, число uj – потенциалом потребителя j. Если в задаче (22) записать векторы y, b, c и матрицу А покомпонентно, то с учетом того, что каждый столбец матрицы А содержит всего две единицы, одна из которых соответствует строчному, другая – столбцовому уравнению прямой задачи, получим двойственную задачу в виде 
; (23) 
, 
, 
. (24)Из постановки двойственной задачи (23), (24) видно, что увеличение потенциалов ui и uj приводит к возрастанию целевой функции (23), так как по предположению ai>0, bj>0 для всех I, j. Однако неравенства (24) ограничивают рост целевой функции. Согласно им, сумма потенциалов поставщика и потребителя не должна превышать расходы на перевозку между ними единицы продукта. Более строго, из второй теоремы двойственности следует, что оптимальный план прямой задачи может включать ненулевое значение перевозки xij только в том случае, если сумма потенциалов поставщика I и потребителя j равна величине расходов на перевозку между ними единицы продукта. Применяя этот результат к паре задач (14) – (17) и (23), (24), получаем следующий признак оптимальности плана транспортной задачи: если план
оптимален, то ему соответствует система 
чисел ui и uj, удовлетворяющих условиям: 
для 
; (25)