Исследование операций (стр. 4 из 5)
Так как x2=0,17;x2 < 1,87, то коэффициент при x2 в целевой функции Z3 будет равнятся -79,75.
Так как x3=5,66 – максимально возможный, то коэффициент при x3 в
целевой функции Z3будет равен 294,68.
Следовательно Z3 = 676,8x1 – 79,75x2 + 294,68x3
Решение 3.
x1 = 6,166 x2 = 0,17 x3 = 5,66 Z3 = 5827,16
Вывод:
Так как на третьем шаге мы получили значения переменных равных значениям переменных на втором шаге, то мы получили искомое решение задачи нелинейного программирования. Третий шаг, за счет того, что значения коэффициента при x3 были увеличены с 40,28 до 294,68, улучшил целевую функцию Z3на 5827,16 – 4387,26 = 1439,9 у.е.
Плановые задания предприятиям.
, где P – плановое задание тыс. тонн,q – производительность состава,x – количество составов,i – номер предприятия.Для предприятия 1:
тыс. тонн;Для предприятия 2:
тыс. тонн;Для предприятия 3:
тыс. тонн. 
Аппроксимация кривой зависимости затрат от количества составов. Примеры графиков для предприятий 1 и 2.
 |
Динамическое программирование. (ДП)
Динамическими называются задачи экономики, организации и управления, в которых необходимо распределять ресурсы на каждом этапе какого – либо промежутка (времени). Формулировка задачи ДП:
Имеется некая система S, находящаяся в первоначальном состоянии S. Данная система имеет какие – либо параметры. При переходе системы из одной точки в другую необходимо в каждый момент времени выбирать направление дальнейшего движения из нескольких допустимых направлений при условии, что каждому направлению соответствует своя эффективность (параметры системы изменяются по разному), и необходимо таким образом спланировать маршрут из начальной точки в конечную, чтобы критерий эффективности достигал экстремального значения.
Иными словами из множества допустимых управлений U=(U1, U2, …, Un) необходимо найти оптимальное, при котором система переходит из своего начального состояния в конечное таким образом, что критерий оптимальности W достигает своего максимума.
Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации многошаговых процессов по шагам. Локальный оптимум на каждом шаге должен рассчитываться не как оптимальный на данном этапе, а как дающий максимальное значение критерия оптимальности в конце движения. Несоблюдение этого правила приводит к серьезным ошибкам, поэтому при решении задач ДП двигаются обычно из конца пути в начало, рассчитывая затраты при движении в каждом направлении, а затем из начала в конец, находя локальный оптимум из рассчитанных затрат на каждом шаге. Таким образом получаем максимальное значение критерия оптимальности.
В основе расчетов методом динамического программирования лежит принцип Беллмана. Он звучит:
оптимальное управление обладает тем свойством, что какавы бы ни были достигнутые состояния и решения до данного момента, последующее решение должно составлять оптимальное поведение относительно состояния, достигнутого на данный момент.
Решение задачи динамического программирования.
Распределение ресурсов предприятиям.
Данные возьмем из задачи нелинейного программирования: количество составов и прибыль на 1 состав для каждого предприятия:
Предприятие 1.
| Количество составов | Прибыль на 1 состав |
| 6,17 | 676,8 |
| 4,31 – 6,17 | 388,8 |
| 3,08 – 4,31 | 244,8 |
| 1,85 – 3,08 | 172,8 |
| до 1,85 | 100,8 |
Предприятие 2.
| Количество составов | Прибыль на 1 состав |
| 6,18 | 459,25 |
| 4,33 – 6,18 | 305,25 |
| 3,09 – 4,33 | 151,25 |
| 1,85 – 3,09 | 74,25 |
| до 1,85 | -78,75 |
Предприятие 3.
| Количество составов | Прибыль на 1 состав |
| 5,66 | 294,68 |
| 3,96 – 5,66 | 40,28 |
| 2,83 – 3,96 | -214,12 |
| 1,7 – 2,83 | -298,92 |
| до 1,7 | -458,52 |
Количество составов,выделенных всем трем предприятиям (N), равно 14.
Рассчитаем эффективность использования средств предприятиями. Для этого прибыль на один состав умножим на количество составов, при которых достигается эта прибыль на каждом из предприятий.
, где n – количество составов, Pn – прибыль при этом количестве составов. | Количество составов | Предприятие 1 | Предприятие 2 | Предприятие 3 |
| 1 | 100,8 | -78,15 | -458,52 |
| 2 | 345,6 | 148,5 | -597,94 |
| 3 | 518,4 | 222,75 | -642,36 |
| 4 | 979,2 | 605 | 161,12 |
| 5 | 1944 | 1526,25 | 201,40 |
| 6 | 2332,8 | 1831,5 | 1768,08 |
Рассчитаем
- максимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2. 
составов. Теперь рассчитаем минимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2, исходя из того, что максимально возможное количество составов для предприятия 3 равно 
= 6 составов, тогда 
составов. Составим таблицу выделения средств двум предприятиям (1 и 2). Здесь x - общее количество ресурсов (составов) для двух предприятий;x = x1 + x2; 0 
x1 6 – допустимое количество составов для предприятия 1;0 x2 6 – допустимое количество составов для предприятия 2. Отсюда видно, что 0 x , однако количество составов для предприятия 3 не может превышать 6, следовательно x 
, следовательно x ; 8 x 12. q1, q2 – эффективность использования средств предприятиями 1 и 2 соответственновзятая из предыдущей таблицы.W2 = q1 + q2 – суммарная эффективность обоих предприятий. 
Наибольшую суммарную эффективность для каждого значения x будем подчеркивать. | x | x1 | X2 | Эффективность | ||
| q1 | q2 | W2 | |||
| 8 | 2 | 6 | 345,6 | 1831,5 | 2177,1 |
| 3 | 5 | 518,4 | 1526,25 | 2044,65 | |
| 4 | 4 | 979,2 | 605 | 1584,2 | |
| 5 | 3 | 1944 | 222,75 | 2166,75 | |
| 6 | 2 | 2332,8 | 148,5 | 2481,3 | |
| 9 | 3 | 6 | 518,4 | 1831,5 | 2349,9 |
| 4 | 5 | 979,2 | 1526,25 | 2505,45 | |
| 5 | 4 | 1944 | 605 | 2549 | |
| 6 | 3 | 2332,8 | 222,75 | 2555,55 | |
| 10 | 4 | 6 | 979,2 | 1831,5 | 2810,7 |
| 5 | 5 | 1944 | 1526,25 | 3470,25 | |
| 6 | 4 | 2332,8 | 605 | 2937,8 | |
| 11 | 5 | 6 | 1944 | 1831,5 | 3775,5 |
| 6 | 5 | 2332,8 | 1526,25 | 3859,05 | |
| 12 | 6 | 6 | 2332,8 | 1831,5 | 4164,3 |
Теперь составим таблицу выделения средств всем трем предприятиям. Так как N – общее количество составов равно 14, а максимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2
=12, то всем трем предприятиям может быть выделено 13 или 14 составов. W3 – суммарная эффективность всех трех предприятий. | Количество Составов | x3 | x | Эффективность использования ресурсов | ||
| q3 | W2 | W3 | |||
| 13 | 1 | 12 | -458,52 | 4164,3 | 3705,78 |
| 2 | 11 | -597,94 | 3859,05 | 3261,11 | |
| 3 | 10 | -642,36 | 3470,25 | 2827,89 | |
| 4 | 9 | 161,12 | 2555,55 | 2716,67 | |
| 5 | 8 | 201,4 | 2481,3 | 2682,7 | |
| 14 | 2 | 12 | -597,94 | 4161,3 | 3563,36 |
| 3 | 11 | -642,36 | 3859,05 | 3216,69 | |
| 4 | 10 | 161,12 | 3470,25 | 3631,12 | |
| 5 | 9 | 201,4 | 2555,55 | 2756,95 | |
| 6 | 8 | 1768,08 | 2481,3 | 4249,38 | |
W3максимальное равно 4249,38, следовательно Z = 4249,38.