Исследование операций (стр. 3 из 5)

x₁

6 x₁ 7

x₁=6

x₂=1,2 Система

x₃=4,8 несовместна

x₂

1 x₂ 2

x₁=6 x₁=5,6

x₂=1 x₂=2

x₃=5 x₃=4

Z=5993 Z=5991

Вершина	Ограничение	№ ограничения
2	x1 6	7
3	x1 7	7
4	x1 6 x2 1	7 8
5	x1 6 x2 2	7 8

Вывод:

В результате решения я получил, что целочисленное оптимальное решение получается в вершине 4, так как все значения x₁=6, x₂=1,x₃=5 в этой вершине целочисленные и Z₅(5991)<Z₄(5993), следовательно получено оптимальное решение. Висящая вершина 5 и прозондированные 1,2,3,4.

Плановые задания:

, где P – плановое задание тыс. тонн,q – производительность состава,x – количество составов,i – номер предприятия.

Для предприятия 1:

тыс. тонн;

Для предприятия 2:

тыс. тонн;

Для предприятия 3:

тыс. тонн.

Нелинейное программирование.

Задача математического программирования называется нелинейной, если нелинейны ограничения или целевая функция.

Задачи нелинейного программирования бывают выпуклого и невыпуклого программирования, с ограничениями и без ограничений, с квадратичными или сепарабельными целевыми функциями. Задачи нелинейного программирования имеют множество экстремальных точек, и сложность решения заключается в выделении глобального оптимума, а не локального как это делается в большинстве классических методов.

Разделяют задачи безусловной и условной оптимизации. Задачами безусловной оптимизации называются задачи оптимизации функции многих переменных без дополнительных ограничений. Существуют следующие методы безусловной оптимизации: покоординатного спуска, градиентные, сопряженных направлений, метод Ньютона. Задачами условной оптимизации называются задачи о оптимизации целевой функции многих переменных f(x₁, …, x_n) при условии, что эти переменные удовлетворяют следующим ограничениям:

q_i(x₁, …, x_n) = 0,

или

d_j(x₁, …, x_n)

0,

Решение задачи основывается на линейной или квадратичной аппроксимации целевой функции для определения приращений x₁, …,x_nна каждой итерации.

Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это методы основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации. Точность нахождения решений зависит от количества интервалов, на которых мы находим решение линейной задачи, максимально приближенной к нелинейной. Такой метод позволяет производить расчеты с помощью симплекс-метода. Обычно в линейных моделях коэффициенты целевой функции постоянны и не зависят от значения переменных. Однако существует ряд задач, где затраты зависят от объема нелинейно. Такие задачи решаются следующим способом: решают задачу ЛП с коэффициентами целевой функции при максимальных значениях переменных. Если в решении мы получили переменные, для которых брались коэффициенты, значит задача решена. В противном случае мы изменяем коэффициенты при целевой функции на коэффициенты при вновь полученных значениях переменных и решаем полученную задачу ЛП. Так мы повторяем до тех пор, пока не будет получено на двух последующих шагах одно и то же решение.

Решение задачи нелинейного программирования.

Метод кусочно – линейной аппроксимации.

В нашей задаче есть такая величина, как коэффициент увеличения затрат при нагрузке, который не использовался нами при решении задачи методами ЛП и ЦЛП. Собственно этот коэффициент и введен для превращения задачи в нелинейную путем нелинейной зависимости между увеличением затрат и загрузкой предприятий.

Составим таблицу:

№ предприятия	Коэффи-Циентзатрат %	Количе-ство составов	Коэфф.измене-ния затрат	Затраты на 1т у.е.	Доход	Прибыль На 1ту.е.	Прибыль на 1 составу.е.
1	2	3	4	5	6	7	8
-	100	6,17	1	6	11,64	5,64	676,8
	70 – 100	4.31–6,16	1,4	8,4		3,24	388,8
	50 – 70	3,08–4,31	1,6	9,6		2,04	244,8
	30 – 50	1,85–3,08	1,7	10,2		1,44	172,8
	до 30	до 1,85	1,8	10,8		0,84	100,8
-	100	6,18	1	7	11,175	4,175	459,25
	70 – 100	4,33-6,18	1,2	8,4		2,775	305,25
	50 – 70	3,09-4,33	1,4	9,8		1,375	151,25
	30 – 50	1,85-3,09	1,5	10,5		0,675	74,25
	до 30	до 1,85	1,7	11,9		- 0,725	- 79,75
-	100	5,66	1	8	10,78	2,78	294,66
	70 – 100	3,96-5,66	1,3	10,4		0,38	40,28
	50 – 70	2,83-3,96	1,6	12,8		- 2,02	- 214,12
	30 – 50	1,7 – 2,83	1,7	13,6		- 2,82	- 298,92
	до 30	до 1,7	1,9	15,2		- 4,42	- 458,52

Где доход (Д) рассчитывается по формуле:

, где

Ц – цена готовой продукции, Е – извлечение,a - содержание полезного компонента.

Прибыль (П) рассчитывается по формуле:

П = Д – З, где Д – доход, З – затраты.

Затраты (З) рассчитываются по формуле:

, где С – затраты на добычу, транспортировку и переработку,

- коэффициент изменения затрат.

1. Пусть x₁, x₂, x₃принимают свои максимальные значения, тогда

Z₁ = 676,8x₁ + 459,25x₂ + 294,66x₃

MAX

Ограничения:

x₁ + x₂ + x₃ =12 – по количеству составов;

x₁

6,17 - максимальный объем добычи руды с предприятия 1;

x₂

6,18 - максимальный объем добычи руды с предприятия 2;

x₃

5,66 - максимальный объем добычи руды с предприятия 3;

0,96x₁ + 0,11x₂ – 0,95x₃

0 – по максимально допустимому содержанию полезного компонента в руде;

-0,84x₁ + 1,06x₃

0 – по минимально допустимому содержанию

полезного компонента в руде.

Решение 1.

x₁ = 6,17 x₂ = 0,95 x₃=4,88 Z₁ = 6048,24

2. Так как x₁=6,17 – максимально возможный, то коэффициент при x₁ в

целевой функции Z₂будет равен 676,8.

Так как x₂=0,95;x₂ < 1,87, то коэффициент при x₂ в целевой функции Z₂ будет равнятся -79,75.

Так как x₃=4,88; 3,96 < 4,88 <5,66, следовательно x₃ попадает в интервал 3,96 – 5,66,следовательно коэффициент при x₃ в целевой функции Z₂ будет равен 40,28.

Следовательно Z₂ = 676,8x₁ – 79,75x₂ + 40,28x₃

Решение 2.

x₁ = 6,17 x₂ = 0,17 x₃ = 5,66 Z₂ = 4387,26

3. Так как x₁=6,17 – максимально возможный, то коэффициент при x₁ в

целевой функции Z₃будет равен 676,8.