Расчет балки на жесткость

Кафедра сопротивления материалов

ШИФР 7-8

Условия задачи

Для заданной расчетной схемы балки требуется :

1) Вычертить с соблюдением продольного масштаба схему нагружения, построить эпюры Q_yи М_х , кратные величинам qaи qa²

2) Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать стальную балку двутаврового профиля

3) Пользуясь универсальными уравнениями метода начальных параметров, определить углы поворота балки под опорами и прогибы балки в двух – трех характерных сечениях. Построить эпюру изогнутой оси балки.

4) Проверить условие жесткости отдельно для пролетной части балки и отдельно для консольной части. Если он не удовлетворяется – установить новый размер сечения двутавровой балки.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

1) Определение опорных реакций:

Σ m_A = 0; -Q*a/2 – m + R_B*2,5a - F*3a = 0;

-qa² /2 - 2.2qa²+R_B*2.5a -3.6qa² = 0;

R_B = 6.3qa/2.5 = 2.52qa = 84.8кН.

Σ m_B = 0; R_A*2,5a – 2a*Q + m + 0,5a*F = 0;

R_A*2.5a – 2qa² + 2.2qa² + 0.6qa² = 0;

R_A =-0.8qa/2.5 = -0.32qa = -10.752 кН.

Σ (F_i)_y = 0; R_A – Q + R_B –F=0

-0.32qa– qa + 2.52qa–1,2qa=0

0 = 0

1.2) Записываем выражения для Q и M для каждого участка, вычисляем их ординаты в характерных сечениях и строим эпюры:

I участок ( 0<z₁<a )

Q_Z₁ = R_A – q*z₁ = -0.32qa– q*z₁; M_Z₁ = R_A*z₁ - q*z₁²/2;

Q_Z1=0 = -0.32qa; M_Z1=0 = 0;

Q_Z1=a=1,4 = -0.32qa – qa = -1.32qa. M_Z1=0.5a = -0.32qa*0.5a - (0.5qa)²/2 = -0.285qa²;

M_Z1=a= = -0.32qa*a - q*a²/2 = -0.82qa².

dM_x/dz = tgb₁ – проверкавизуально

dQ_y/dz = tga₁ = (-1.32qa – (-0.32qa))/a = -q

II участок (0<z₂<1,5a)

Q_Z2 = -R_B + F = -2,52qa + 1.2qa = -1,32qa; M_Z2 = R_B*z₂ - F*(0.5a + z₂);

M_Z2=0 = 2,52qa*0 - 1.2qa*(0.5a + 0) = -0.6qa²;

M_Z2=1,5a = 2,52qa*1.5a - 1.2qa*(0.5a+1.5a) = 1,38qa²;

dM_x/dz = tgb₂ = (-0.6qa² -1,38qa²)/1.5a = -1,32qa;

dQ_y/dz = tga₂ = 0; q=0.

III участок (0<z₃<0,5a);

Q_Z3 = 1,2qa; M_Z3 = -1,2qa*z₃;

dM_x/dz = (0+0.6qa²)/0.5a = 1.2qa. M_Z₃₌₀ = 0;

M_Z_3=0,5_a = -0,6qa².

По эпюрам Q_y и М_x устанавливаем опасное сечение балки – это сечение левее опоры В с М_мах = 1,32qa² (62.0928 кН*м), M_max = -1.32qa ( -44.352 кН)

2) Подбор сечения по условию прочности.

s_max= M_Xmax/W_X< [s]; M_Xmax = 1.38qa² = 1.38*24*1.4² = 64.91 кН*м

W_X = M_Xmax/[s] = 64.91*10³/160*10⁶ = 405*10^{-6 м3} = 405см³

Номер двутавра: №30; W_X = 472.0 см³, A = 46.5 см².

s_max= M_Xmax/W_X = 64,91*10³/472*10^-6 = 137,6*10⁶ Н/м² = 137,6 МПа < 160 МПа => Прочность балки двутаврового профиля обеспеченна.

номер двутавра	площадь сечения, см²	W_X, см³	I_X, см⁴	S_X, см³	b_н, мм	b_c, мм	h₀, мм
30	46,5	472,0	7080	268,0	135	6,5	10,2

Начало координат выбираем на левой опоре, в этом случае один из начальных параметров y₀ = 0.

Выполним оценку линейных и угловых перемещений: