Расчет тарифных ставок в страховании (стр. 6 из 11)
В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.
Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок:
1. E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату.
Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.
2. E+I>Sp – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (Sp).
3. E>Sp-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии.
4. Ep-IE>Sp-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением (математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат.
Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени.
Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, qn – вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному): E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых премий.
Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году - Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/
Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии.
Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности – число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx (кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (qx) в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx). Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.
Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:
- lx+1=lx-dx;
- dx=lx*qx;
- qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .
Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:
1. npx=lx+n/lx – вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.
2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx – вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.
3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.
4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.
5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx – вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.
Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.
1. Dx=lx*vx
2.
, где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.- Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw
-
(Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+13. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1
4.
; 
Страхование на дожитие.
Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты (nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:
1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты (S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии (S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:
- nEx*S = S*npx*vn
- nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn
- nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx
2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.
- (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn
- Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn или
Страхование жизни.
Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:
1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы (S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;
- если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.
- В силу финансовой эквивалентности:
S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn
- Умножим и разделим данное выражение на vx, тогда:
nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx *(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)
Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw
Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw
Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1