Теория вероятности (стр. 4 из 5)

Пример: Определение вероятности появления редких событий

, k-раз, в n независимых испытаниях. Причем подразумевается нефиксированное, а бесконечно большое количество испытаний ( ). При этом . Такая вероятность определяется по формуле Пуассона (альтернативные независимые события).

- математическое ожидание;

Формула Пуассона выводится из формулы Бернулли и после ряда преобразований выглядит следующим образом

, где k – количество раз, которое произойдет редкое событие.

Эта формула применяется в прикладных разработках, в теории массового обслуживания (теории очередей), которая используется для расчета оптимального числа точек обслуживания, числа бензоколонок, числа рабочих мест операционистов в банке (такое число, чтобы не было очередей).

Кроме того, формула Пуассона применяется в ситуациях, когда не требуется высокая точность расчетов, а вероятность события p не велика.

10. Локальная теорема де Муавра-Лапласа.

В 1730 г. формула для приближения расчета значений для случая, когда p=q=0,5 предложил французский математик де Муавр.

Позднее в 1783 г. Лаплас обобщил результаты, полученные де Муавром, в своей теореме. Если вероятность p появления события Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность

появления события Е в n испытаниях равно k раз приближенно равна значению функции:

Созданы специальные таблицы значений функции

в зависимости от величины t. t – стандартизированное значение.

Пример: Найти вероятность того, что 80 из 1000 приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви p=0,11 (по данным из наблюдений за предыдущий период).

1)

Поскольку в функции

использована четная степень t – функция положительна, то есть .

Таким образом, только в 404 случаях из 1 млн. ровно 80 из 1000 посетителей приобретут мужскую обувь.

2)

Таким образом, в 242 случаях из 10000 ровно 120 из 1000 посетителей приобретут мужскую обувь.

11. Интегральная формула Лапласа.

Локальная теорема Лапласа имеет важное значение, однако ее практическое значение ограничено. На практике важно знать вероятность того, что событие Е произойдет число раз, заданное в определенных пределах.

Пример: Вероятность приобретения покупателями мужской обуви от 80 до 120 человек из 1000.

, то есть, равна сумме вероятностей несовместных событий покупки 1000 посетителей конкретного числа пар обуви в пределах от 80 до 120 пар обуви.

Каждое из слагаемых определяется по локальной формуле Лапласа. Высокая трудоемкость задачи очевидна, поэтому рациональным способом решения задачи является интегрирование локальной функции Лапласа.

Если вероятность p появления событий Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 , то

, при этом

Интегрированная функция описывает распределение вероятности полной группы событий, поэтому ее общая площадь в пределах изменения t от

до равна 1.

Поскольку функция асимптотически приближается к оси абсцисс в пределах изменения t от

до -5, а так же от +5 до считается, что единице равна площадь кривой в пределах ординат .

Значения функции даны в приложении 3, они указаны в пределах от –t до +t.

Пример: от 80 до 120

Таким образом, в 84 случаях из 100.

Складывая и вычитая площади, определенные по таблицам всегда можно получить необходимый результат.

12. Зависимые события. Гипергеометрическое распределение.

Для вывода функции гипергеометрического распределения проводятся испытания (выборка) по схеме невозвращающегося шара. В этом случае вероятность появления события Е k-раз в n зависимых испытаниях подвергается влиянию не только числа отбираемых единиц n, но и численности всей генеральной совокупности N.

Если p доля единиц генеральной совокупности, обладающих изучаемым признаком, а q – доля необладающих этим признаком, то вероятность появления события Е k раз n зависимых испытаний определяется по формуле:

, где - число сочетаний из pN=M элементов генеральной совокупности, обладающих изучаемым признаком по k; - число сочетаний из qN=N-M единиц, необладающих изучаемым признаком n-k единиц; - число исходов, удовлетворяющих и неудовлетворяющих данному испытанию.

Математическое ожидание гипергеометрического распределения не зависит от объема генеральной совокупности и как в биномиальном распределении определяется по формуле:

, где - корректирует дисперсию при бесповторном отборе в зависимости от численности выборки и генеральной совокупности.

Если численность генеральной совокупности достаточно велика, то

, в этом случае , то , то есть, зная параметры биномиального распределения всегда можно рассчитать параметры гипергеометрического.

13. Нормальное распределение.

Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.

Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов.

Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса).

В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко. Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия).

Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов.

При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.

Нормальное распределение выражается функцией вида:

Данная функция характеризует плотность нормального распределения вероятности, ее математическое ожидание

, а показатель степени – стандартное значение отклонений эмпирических данных от среднеарифметических.

Масштабирование данных кривой по оси x осуществляется величинами среднеквадратического отклонения

. Так как показатель степени функции возведет в четную степень, функция положительна, кривая симметрична относительно средней, то есть показатель асимметрии равен . Показатель эксцесса кривой нормального распределения так же равен 0.