- Определение доверительной вероятности того, что ошибка репрезультативности не превысит некоторого заранее заданного значения;
- Расчет численности выборки, обеспечивающей с заданной вероятностью необходимую точность исследований.
2. Ошибка выборки.
Возникает из-за различий в вариации значений изучаемого признака у единиц выборочной и генеральной совокупности. Поскольку при соблюдении требований случайного отбора все единицы генеральной совокупности имеют равные шансы попасть в выборку, состав выборки может значительно изменяться при повторении испытаний. Соответственно будут меняться параметры выборки, и возникать ошибки выборки. Ошибки выборки неизбежны, они вытекают из сути метода. Ошибки выборки не могут быть постоянными при повторении отбора.
Ошибка выборки в статистике это некоторая средняя величина или обобщающая характеристика, ошибок полученных при многократном повторении испытаний.
W - P
- ошибка выборки;
- выборочная средняя;
- генеральная средняя;
W – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выборочной совокупности (выборочная доля);
P - доля единиц, обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности.
Величина ошибок зависит от способа отбора. В математической статистике доказано, что средняя ошибка выборки (математическое ожидание средней ошибки выборки) – это среднеквадратическое отклонение распределения выборочной средней величины.
Ошибка выборки определяется:
В математической статистике доказано, что средняя ошибка собственно случайного повторного отбор рассчитывается:
, где
- средняя ошибка выборки;
- дисперсия генеральной совокупности;
- численность выборки.
Если исследуется выборочная доля при повторном отборе
, где
- дисперсия биномиального распределения.
Результаты повторного отбора подчиняются закону биномиального распределения.
При бесповторном отборе результаты многократной выборки и распределения ошибок подчиняются гипергеометрическому распределению, и формула средней ошибки имеет вид:
, соответственно для выборочной доли
.
При выборках большой численности, когда
из массовых генеральных совокупностей (
) для расчета ошибок выборки можно использовать формулу повторного отбора.
В формулах средней ошибки выборки присутствует генеральная дисперсия. Однако, она, как правило, неизвестна. Если мы проводим выборку для того, чтобы изучить только часть совокупности, мы не можем знать генеральную дисперсию. Исключение составляют только выборки, проводимые для контроля результата сплошного наблюдения.
Однако, математической статистикой доказано, что если выборка производится из нормального распределения совокупности генеральная и выборочная дисперсия связаны между собой следующим образом:
|
Из формулы видно, что достаточно большой выборке (n-1)®n, а
, откуда s2» S2. Поэтому для расчета средних ошибок выборки на практике используют выборочные дисперсии. |
Если многократно проводить выборки из одной и той же генеральной совокупности, то конкретному размеру ошибки выборки будет соответствовать та или иная статистическая вероятность ее появления.
Вероятности конкретного размера ошибок подсчитать невозможно (нецелесообразно), гораздо важнее знать, что ошибка наблюдений не выйдет за определенные пределы.
Суть предельной теоремы: Чебышев доказал, что средняя арифметическая величина достаточно большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены некоторой постоянной, становится фактически независимой от игры случая. t=1, 2, 3
По формуле Чебышева, если
t=1 r³0
t=2 r³0,75
t=3 r³0,89
Эта формула для условий повторного отбора.
Академик Марков доказал, что предельная теорема справедлива и для бесповторного отбора.
Академик Ляпунов доказал, что вероятности предельных ошибок многочисленных выборок подчиняются закону нормального распределения, следовательно, для определения вероятностей нахождения ошибки выборки в заданных пределах можно использовать интегральную формулу Лапласа.
Площадь кривой ±s 0,6827
2s 0,9545
3s 0,9973
Отсюда, если доверительный коэффициент t=1, то вероятность того, что предельная ошибка выборки не будет больше, чем средняя ошибка, которая составляет 0,683.
Вероятный интервал изменения генеральной средней или доли в статистике принято называть доверительным интервалом.
Пример: Для анализа жирности молока из партии в 1000 фляг было отобрано и проверено 30. Средний процент жирности в проверенных флягах составил 3,51%, при среднеквадратическом отклонении 0,35. С вероятностью 0,954 определить доверительный интервал средней жирности партии молока (если выборка бесповторная).
N=1000 n=30
=3,51%S=0,35%
Если мы расширим допустимые пределы точности, то вероятностная надежность результата будет выше, а точность ниже.
Если p=0,997 то t=3, а D=0,19 тогда ожидаемая жирность молока в генеральной совокупности должна составить
.3. Малая выборка.
В процессе статистических исследований нередко приходится ограничивать объем выборки, особенно в тех случаях, когда исследования единиц совокупности приводит к их разрушению.
В статистике доказано, что даже в выборке весьма малого объема (20-30, а иногда 4-5 единиц) позволяют получить приемлемые для анализа результаты. Проблема малых выборок была решена в 1908г. английским статистиком У.Гассетом (псевдоним Студент). Он сумел определить зависимость между величиной доверительного коэффициента t, а так же численностью малой выборки n с одной стороны, и вероятностью нахождения ошибки выборки в заданных пределах с другой стороны. Эта зависимость получила название – распределение Стьюдента. Для упрощения расчетов имеются специальные таблицы значений критериев Стьюдента (стр. 372 «Практикума по теории статистики»).
n=n-1 – число степеней свободы.
Малая выборка определяется по формуле
 |
Средняя ошибка малой выборки
Дисперсия малой выборки - число степеней свободы.
Пример: Ежедневные затраты времени 15 работников на поездки туда и обратно составляют в среднем 1,7 часа. Определить пределы, в которых находится среднее время поездки на работу и обратно.
n=15 
=1,7 часаS2=0,134
P=0,95
4. Определение оптимальной численности выборки.
Трудовые и материальные затраты на проведение выборки напрямую зависят от ее численности, поэтому чрезвычайно важно до оптимума сохранить численность выборки, так чтобы не утратить ее точность.
Поиск оптимальной численности выборки удобно осуществлять на основе формул средней и предельной ошибок. Из формулы средней ошибки случайного повторного отбора видно, что величина средней ошибки обратно пропорциональна квадратному корню из численности выборки (
). Чтобы сократить среднюю ошибку в 2 раза, нужно численность выборки увеличить в 4 раза. Используя формулу предельной ошибки выборки 
можно найти численность 
. Это оптимальная численность выборки для случайного повторного отбора.
