b1 = 7, так как a4 + b1 = С41 = 7, ®
a2= -1, так как a2 + b1 = С21 = 6, ®
b5 = 6, так как a2 + b5 = С25 = 5, ®
a3= 1, так как a3 + b5 = С35 = 7, ®
b2 = 6, так как a3 + b2 = С25 = 7.
Если оказалось, что все эти псевдостоимости не превосходят стоимостей
čij £ сij , £ ³
то план потенциален и, значит, оптимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость больше стоимости (как в нашем примере), то план не является оптимальным и может быть улучшен переносом перевозок по циклу, соответствующему данной свободной клетке. Цена этого цикла ровна разности между стоимостью и псевдостоимостью в этой свободной клетке.
В таблице № 5 мы получили в двух клетках čij ³ сij , теперь можно построить цикл в любой из этих двух клеток. Выгоднее всего строить цикл в той клетке, в которой разность čij - сij максимальна. В нашем случае в обоих клетках разность одинакова (равна 1), поэтому, для построения цикла выберем, например, клетку (4,2):
Таблица №6
| ПН ПО |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
ai |
| А1
| 10 | 8 | 5 42 | 6 6 | 9 | 0 |
| А2
| 6 + 4 | 7 | 8 | 6 | 5 - 26 | -1 |
| А3
| 8 | 7 - 27 | 10 | 8 | 7 + 0 | 1 |
| А4
| 7 - 14 | 5 + - | 4 | 6 6 | 8 | 0 |
| bj
| 7 | 6 | 5 | 6 | 6 |
Теперь будем перемещать по циклу число 14, так как оно является минимальным из чисел, стоящих в клетках, помеченных знаком - . При перемещении мы будем вычитать 14 из клеток со знаком - и прибавлять к клеткам со знаком + .
После этого необходимо подсчитать потенциалы ai и bj и цикл расчетов повторяется.
Итак, мы приходим к следующему алгоритму решения транспортной задачи методом потенциалов.
1. Взять любой опорный план перевозок, в котором отмечены m + n - 1 базисных клеток (остальные клетки свободные).
2. Определить для этого плана платежи (ai и bj ) исходя из условия, чтобы в любой базисной клетке псевдостоимости были равны стоимостям. Один из платежей можно назначить произвольно, например, положить равным нулю.
3. Подсчитать псевдостоимости či,j = ai + bj для всех свободных клеток. Если окажется, что все они не превышают стоимостей, то план оптимален.
4. Если хотя бы в одной свободной клетке псевдостоимость превышает стоимость, следует приступить к улучшению плана путём переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдостоимость больше стоимости).
5. После этого заново подсчитываются платежи и псевдостоимости, и, если план ещё не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный план.
Так в нашем примере после 2 циклов расчетов получим оптимальный план. При этом стоимость всей перевозки изменялась следующим образом: F0 = 723, F1 = 709, F2 = Fmin = 703.
Следует отметить так же, что оптимальный план может иметь и другой вид, но его стоимость останется такой же Fmin = 703.
Список использованной литературы
1. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования М.; Наука, 1976г.
2. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.; Наука, 1986г.
3. Моисеев Н.Н., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.; Наука, 1978г.
4. Иванов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.; Наука, 1979г.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.; Наука, 1986г