(3) Если каждый вариант умножить (разделить) на какое-либо произвольное постоянное число, то средняя увеличится (уменьшится) во столько же раз.
(4) Если веса, или частоты, разделить или умножить на какое-либо произвольное постоянное число, то величина средней не изменится. Это свойство дает возможность заменять веса их удельными весами:
Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным способом. В этом случае используются свойства средней величины. Метод упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от условного нуля.
Способ моментов предполагает следующие действия:
1) Если возможно, то уменьшаются веса.
2) Выбирается начало отсчета – условный нуль. Обычно выбирается с таким расчетом, чтобы выбранное значение признака было как можно ближе к середине распределения. Если распределение по своей форме близко к нормальному, но за начало отсчета выбирают признак, обладающий наибольшим весом.
3) Находятся отклонения вариантов от условного нуля.
4) Если эти отклонения содержат общий множитель, то рассчитанные отклонения делятся на этот множитель.
5) Находится среднее значение признака по следующей формуле
|
| |||||
| до 70 | 65 | 15 | -30 | -3 | -45 |
| 70-80 | 75 | 17 | -20 | -2 | -34 |
| 80-90 | 85 | 13 | -10 | -1 | -13 |
| 90-100 | 95 | 22 | 0 | 0 | 0 |
| 100-110 | 105 | 8 | 10 | 1 | 8 |
| 110-120 | 115 | 12 | 20 | 2 | 24 |
| 120-130 | 125 | 6 | 30 | 3 | 18 |
| 130-140 | 135 | 5 | 40 | 4 | 20 |
| 140 и более | 145 | 2 | 50 | 5 | 10 |
| Сумма | 100 | -12 |
Расчет средней гармонической связан с двумя причинами:
1) Не всегда возможно рассчитать среднюю арифметическую на основе имеющихся данных.
2) Расчет средней гармонической проводить более удобно.
Расчет простой средней гармонической:
Расчет средней гармонической взвешенной:
| Базисный | Отчетный | ||
| Фонд з/п | Среднеспис. з/п | Среднеспис. з/п | Среднеспис. численность |
| xf | х | x | f |
| Средняя гармоническая | Средняя арифметическая | ||
Общая из индивидуальных средних
Рассчитывается по следующей формуле:
Те средние величины, которые мы записали, относятся к степенным средним. В наиболее общем виде степенная средняя записывается следующим образом:
В зависимости от k и образуются разные виды средних.
| Степень k | Вид средней | Формула расчета |
| k = 1 | Арифметическая | |
| k = 2 | Квадратическая | |
| k = 0 | Геометрическая | |
| k = -1 | Гармоническая |
Правило мажорантности:
Величина средней определяется всеми значениями признака, встречающимися в данном ряду распределения. Различают такие структурные средние, как:
(1) мода
(2) медиана
(3) квартиль
(4) дециль
(5) перцентиль
Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения.
В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Если же ряд распределения задан как интервальный, то значение моды рассчитывается по следующей формуле:
– нижняя граница модального интервала,
– величина модального интервала,
– частота (вес) интервала, предшествующего модальному,
– частота модального интервала,
– частота интервала, следующего за модальным.
Это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда.
Прежде всего определяется порядковый номер медианы по формуле
и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном вариационном ряду соответствует значение медианы, а в интервальном – медианный интервал.
Для интервального ряда медиана рассчитывается по следующей формуле:
– нижняя граница медианного интервала,
– величина медианного интервала,
– сумма частот (весов) ряда,
– сумма накопленных частот (весов) в интервале, предшествующем медианному,
– частота медианного интервала.
Первый квартиль вычисляется по формуле:
– нижняя граница квартильного интервала,
– величина квартильного интервала,
– номер квартильного признака,
– сумма накопленных частот (весов) в интервалах, предшествующих квартильному,
– частота квартильного интервала.
Аналогично рассчитывается третий квартиль. Второй же квартиль равен медиане.
Рассчитывается по аналогии с расчетом квартиля. Можно найти девять децилей.
Средняя должна исчисляться не просто тогда, когда есть вариация признака, а тогда, когда мы располагаем качественно однородным вариационным рядом. Среднюю как обобщающую характеристику нельзя применять к таким совокупностям, отдельные части которых подчиняются различным законам распределения (или) развития в отношении величины распределяемого признака.
Необходимость расчета показателей вариации
Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Но одной средней нельзя отобразить все характерные черты статистического распределения. Возможны случаи совпадения средних арифметических при разном характере распределения.
Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей.
Абсолютные показатели вариации
Для измерения размера вариации используются следующие абсолютные показатели: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Размах
Величина его целиком зависит от случайности распределения крайних членов ряда, и значение подавляющего большинства членов ряда не учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда.
Такие показатели, которые представляют собой средние, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины, лишены этого недостатка.
Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.
Дисперсия
Среднее линейное отклонение
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсию можно подсчитать и по следующей формуле:
По этой формуле ленче считать дисперсию, когда имеешь дело с дискретным рядом распределения.
| Годовой удой от одной коровы | Середина интервала | Число коров | |||||
| до 2-х | 1,5 | 40 | 6 | -1,3 | 5,2 | 1,69 | 6,76 |
| 2-3 | 2,5 | 20 | 5 | -0,3 | 0,6 | 0,09 | 0,18 |
| 3-4 | 3,5 | 20 | 7 | +0,7 | 1,4 | 0,49 | ,98 |
| 4-5 | 4,5 | 10 | 4,5 | +1,7 | 1,7 | 2,89 | 2,89 |
| 5 и более | 5,5 | 10 | 5,5 | +2,7 | 2,7 | 7,29 | 7,29 |
| Сумма |
|
| 28 |
| 11,6 |
| 18,1 |