Свойства функций предпочтения (стр. 3 из 4)
Пример 4. Пусть m=3 и функции Fl (l=1,2,3), фигурирующие следствии 2, линейны, т. е. Fl(z)=al+blz. Если для теоремы 1 F(z)=a+bTz, тогда результирующие функции Fот трех аргументов и для следствия 2 и для теоремы 1 совпадают и равны
F(z1, z2, z3)=a+b1z1+b2z2+b3z3.
где для следствия 2 a=a1+a2+a3. а) Допустим, что все факторы удовлетворяют примеру 1. Тогда, если факторами x человек обладает в группе i, а факторы y ему предложены в группе j, то интенсивность его перехода на новое место будет пропорциональна
f (x, y)=a+b1(y1-x1)+b2(y2-x2)+ b3(y3-x3).
б) Если же первый фактор удовлетворяет примеру 1, второй – примеру 2, а третий – примеру 3, то интенсивность переходов одинаково относящихся в силу гипотезы 1 к благам-факторам людей их групп i в группу j будет
lijµf (x, y)=a+b1(y1-x1)+b2ln(y2/x2)+b3(y 
-x ).
Пример 5. Пусть m=3 и все три фактора удовлетворяют примеру 2, а функция фигурирующая в теореме 1 такова
F(z1, z2, z3)=exp (a+b1z1+b2z2+b3z3).
Тем самым предполагается, что нет независимости по эффективности (см. задачу 2). Тогда интенсивности lij переходов пропорциональны таким функциям от факторов:
f (x, y)=exp [a+b1 ln(y1/x1)+b2ln(y2/x2)+b3(ln(y3/x3)]=
=A 
,
где A=ea. Очевидно, что в этом примере изменения интенсивностей переходов lij и предпочтений при изменении какого-либо одного фактора xl или yl (l=1,2,3) зависит от значений всех остальных факторов, хотя соотношение (2.1) выполнено, а, следовательно, справедливость гипотезы 2 не нарушена.
Во всех примерах гипотеза 1 выполнена, так как все коэффициенты a, A, и bi независят от группы, к которой отнесен человек, обладающий набором благ x. Более того, обратим внимание на то, что в примерах нигде не учитывалось различие в коэффициентах пропорциональности fи y приращений факторов-благ. Таким образом, набор функций от факторов, удовлетворяющих условиям гипотез 1 и 2 весьма широк.
Задачи.
1. Пусть I(y1, y2) –индикатор возрастного интервала (y1, y2), где начало и конец – возраст человека (полное число лет), т. е. функция от возраста z, равная 1 при y1,<z<y2. и 0 в остальных случаях. Пусть C означает, что «нужен поп», B – «нужна попадья, A – «нужна попова дочка». Функция F(z)=A·I (18,30)+B·I (0,7)+C·I (60,100). Ответьте на вопросы из поговорки: «кому нужен поп? кому попадья? кому попова дочка?», выраженные последним соотношением.
2. Проверьте, что эффективности действия факторов на функцию привлекательности из примера 2 зависит от всех других параметров
3. Пусть z=(y-x) и векторы-столбцы y и x разделены на два подвектора y1, y2 и x1, x2 так, что вектор z существует и равен [(y1-x1)T, (y2-x2)T]T=(z1, z2). Если матрицы A1 и A2 таковы, что zTAz существует и A=
, а функция предпочтения f (x, y) 
³0, т. е. матрицы A1 и A2 неотрицательно определены. Убедитесь, что а) матрица вторых производных по y отличается от A наположительный множитель, а по x – на отрицательный; б) функция предпочтения удовлетворяет всем условиям как первой группы, т. е. по y функция возрастает, а по x – убывает, так и второй – функция предпочтения по y выпукла вверх, а по x – вниз.Справки и ссылки
Следует отметить, что факторы у существующих для практических применений моделей движения населения всегда удовлетворяют условиям гипотез 1 и 2, а некоторые из них вдобавок независимы по эффективности. Так, вид функции из примера 4 а) встречался в работе [Бородкин и Соболева], а первые два слагаемых из примера 4 б) использовались, правда несколько в другой ситуации, в работе [Rogers]. Вид этих зависимостей, называемый часто экономистами моделями, указывает на то, что предполагается, согласны все с этим или нет, выполнение условий гипотез 1, 2 и все удовлетворяющие примеру 1 факторы независимы по эффективности. Последнее утверждение обосновано непосредственно следствием 2 и теми функциями регрессии, которые использовались в упомянутых работах.
Более сложная модель зависимости подвижности людей от благ-факторов на старом и новом местах – функция из примера 5 для большего числа факторов – применялась работе [Матлин]. Для нее выполнены условия гипотез 1 и 2, что вытекает из теоремы 1, но эффективности всех факторов зависят от уровня остальных.
Исследователи подвижности населения всегда вводили функции привлекательности одних условий (скажем, будущих) по сравнению с другими (например, уже имеющимися у человека) только из содержательных соображений. Больше того, эти соображения всегда были ограничены возможностью оценки воздействия отдельных факторов на саму привлекательность, так как хотелось как можно скорее получить влияние изменения каждого фактора на потоки и управлять ими. В данной главе сделана попытка, с теоретических позиций, осмыслить постоянно используемые функции, примеры которых приведены. Поэтому при вводе общих функций появляется возможность появления гистерезиса во времени, когда человек не приживается на новом месте, о чём начинают говорить демографы.
Литература
1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. «Финансы и статистика», Москва, 1985 г.
2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.
3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002
4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.
5. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», № 1, 1979 г.
6. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.
7. Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с переменной структурой населения. «Экономика и математические методы», том 30, вып. 2, 1994 г.
8. Гегель Г. Политические произведения, Изд. «Наука». М. 1978 г.
9. 12. Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М. 2002 г.
10. Зайончковская Ж.А. Новосёлы в городах (методы изучения подвижности). «Статистика», М. 1974 г.
11. Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд. «Наука», Новосибирск, 1991 г.
12. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: «Прогресс», 1966.
13. Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М. 1972 г.
14. Кендалл М.Дж.и А. Стьюарт Теория распределений «Наука», М:1966 г.
15. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. «Наука», М. 1986 г.
16. Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.
17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. «Наука». М: 1964 г.
18. Матлин И.С. «Моделирование размещения населения». Изд. «Наука», М.1975 г.
19. Миграция населения (редактор Воробьёва О.Д.). Изд. Министерства по делам федерации, национальной и миграционной политики РФ. М. 2001 г.
20. Моделирование социальных процессов. Изд. РЭА им. Плеханова, М.1993 г.
21. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходной период в России. Научный доклад № 99–04, РПЭИ / Фонд Евразия, 1999.
22. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М: Изд. «Наука», 1979.
23. Рао С.Р. «Линейные статистические методы и их применение». «Наука», М:1968 г.
24. Результаты обследования движения трудовых ресурсов Латвийской ССР за 1973 год, Рига, Центральное статистическое управление при Совете Министров Латвийской ССР, 1975.
25. Российские статистические ежегодники: Госкомстат России. – М.
26. Сен Амартия. Об этике и экономике. Изд. «Наука», М. 1996 г.
27. Система знаний о народонаселении (редактор Валентей Д.И.) «Высшая школа», М. 1991 г.
28. Соболева С.В. «Демографические процессы в региональном и социально-экономи-ческим развитии». Изд. «Наука», Новосибирск, 1998 г.
29. Современная демография. Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. Изд. МГУ. 1995 г.
30. Староверов О.В. (1978). Сложные факторы в моделях движения населения. Сборник Прикладной многомерный статистический анализ. «Наука», Москва.
31. Староверов О.В. (1979) Модели движения населения. Изд. «Наука» Москва.
32. Староверов О.В. (1997). Условия жизни и межгрупповая мобильность. Экономика и математические методы. Том 33, вып. 4
33. Староверов О.В. (1997) Азы математической демографии. Изд. «Наука», М.
34. Староверов О.В. (2003) Общая модель движения населения. Труды международной научно-практической конференции по миграции населения и перспективам демографического развития: России. Изд. ГУ ИМЭИ при МЭ, М.