Распределения и меры расслоения доходов (стр. 3 из 3)

Для такого сравнения, в качестве примера, примем, что минимальный среднедушевой доход a будет считаться единичным. В этом случае математическое ожидание доходов W будет равно k (или ka=W).

В этом случае функции распределения всех трех типов представимы в виде:

1) Парето – 1-

, при х>1 и 0 при х£1;

2) равномерное – 0 при х£1;

, при 1<x£2k‑1 и

3) двухточечное – 0 при x£1, p при 1<x£

и 1 при x>

.

Легко проверить, что математические ожидания всех трех типов распределения равны k (см. задачу 3).

Таблица 1. Меры расслоения

Распределения	Дисперсия	Энтропия	Коэф. вариации	Коэф. Джини
Парето
равномерное.
двухточечное		-p lnp-– (1‑p) ln (1‑p)

Для получения функции Лоренца необходимо получить интеграл L(w)=

, который равен для распределения Парето (тип 1):

, где [x]₊=max [0, x]; для равномерного распределения (тип 2) L(w)=0 при w£1, L(w)=

при 1<w£2k-L(w)=1 при w>2k‑1, наконец, для двухточечного распределения (тип 3) имеем координаты кривой (ломаной) Лоренца (w, L(w)): L(w)=1/k. при 0<w£p,

при p<w£1, где w – доля людей, получающая долю доходов L(w).

Таким образом, кривая Лоренца (в данном случае, ломаная линия), состоит из двух отрезков прямых, соединяющих точки (0,0), (p, p/k) и (1,1), а площадь треугольника с вершинами в этих точках (см. задачу 4) равна

.

Используемый ранее в главе интеграл

будет встречаться далее, но в другом смысле и для других целей. Сейчас же обратим внимание только на то, что как L(w), так и F(w) – вероятностные меры. Поэтому величина l формально это уже написанный функционал от двух мер, притом необязательно L(w) связана с F(w), так как было отмечено ранее в этой главе.

После того, как получены выражения для кривых Лоренца, просто получить доли суммарного дохода, приходящиеся на любой процент наименее получающих людей, для трех типов функций распределения в тех случаях, когда доход, приходящийся на одного человека, вдвое больше прожиточного минимума, т.е. для k=2.

В таблице 2 представлены доли доходов, которые получают имеют 10,20,… 90% людей, расположенных в порядке увеличения среднедушевого дохода для трех примеров (типов) функций распределения.

Первые два типа распределений имеют два параметра, один из которых положен единицей измерения – минимальные среднедушевые доходы, а другой для расчетов в таблице 4 равен, примерно 2, т.е. математическое ожидание среднедушевых доходов, примерно, вдвое больше чем наименьший среднедушевой доход. Для двухточечного распределения доля p людей, получающих мало, и доля 1‑p людей, получающих много, были зафиксированы на уровнях p = 100/101 = 0,99 и 1‑p= 1/101 =0,01. В этом случае p/1‑p =100 и можно легко сравнить многие меры расслоения.

Таблица 2. Доли доходов (в %), приходящиеся на процент наименее получающих

Тип распре-	% людей, расположенных по росту среднедушевого дохода
деления	10	20	25	30	70	75	80	90
1	5,13	10,56	13,40	16,33	45,22	50,00	55,28	68,38
2	5,5	12	15,62	19,5	59,5	65,6	72,0	85,5
3	5	10	12,5	15	35	37,5	40	45

Поясним, как получаются отношения, например, децилей для двухточечного распределения. В соответствии с табл. 2 10% людей, получающих мало, в этом случае имеют всего 5% суммарного дохода, а 90% – 45%. Поэтому 10% наиболее обеспеченных имеют 55% суммарных доходов. Отсюда, отношение децилей 55%/5%=11, что и представлено в левой нижней клетке таблицы 3.

В экономической практике наиболее часто употребляются два показателя (две меры) расслоения – это коэффициент Джини и отношение квантилей (чаще всего децилей).

Таблица 3. Сравнение мер расслоения

Тип	показатель (м е р а) расслоения
распре-	Диспер-	Энтро-	Коэффициент		о т н о ш е н и е
деления	сия	Пия	вариации	Джини	квантилей	квинтилей		децилей
Парето	¥	0,807	¥	0,333	3,73	4,23		6,16
Равномерное	0,333	6,693	0,289	167	2,2	2,33	2,64
Двухточечное	100	0,056	5,0	0,495	5	6	11

Литература

1. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.

2. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.

3. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.