Разложимые показатели расслоения (стр. 2 из 3)

Условие 5 (непрерывности). Функционал J(F) непрерывен.

Свойство сравнимости. При сравнении расслоений в разных странах, хотя там доходы могут быть измерены в разных денежных единицах, должно быть ясно, где неравенство больше, а где меньше. Поэтому у представления о величине расслоения или неравенства нет зависимости от единицы измерения дохода. То же самое должно быть свойственно и функции J.

Условие 6 (однородности). Функция J(F(w)) инвариантна по отношению к масштабу измерения дохода w, т.е. однородна степени 0 по w.

Свойство передачи в проблему мер неравенств было введено Пигу и Дальтоном, что часто подчеркивается названием: свойство Пигу-Дальтона. Оно состоит в том, что от передачи сколь угодно малого количества от более богатого к менее богатому показатель неравенства убывает. Это же свойство можно сформулировать и в обратной форме. Если группа с равными доходами распадается на две с неравными при тех же суммарных доходах, которые были до распадения, то расслоение не может уменьшиться. Последнее свойство настолько важно, что оно встретится далее, но будет названо там свойством стремления к одинаковости.

Условие 7 (передачи). От расщепления какой-либо группы, задаваемой F, на две, например, F₁и F₂ (или более) групп функция J(F)³max[J(F₁),J(F₂)].

По сути, последнее условие мало добавляет к уже приведенным условиям повторения и монотонности, так как уточнилась лишь формулировка - появился функционал от смеси двух аргументов, вместо функционала от одного. В самом деле функции распределения F₁иF₂ присутствуют и в правой и в левой частях неравенства, так как функция F=lF₁+(1-l)F₂, где lÎ[0,1} и F₁¹F₂. Возникает вопрос, нельзя ли функционал от смеси двух аргументов представить в виде смеси функционалов от каждого. Такое представление полезно из-за возможности сильно облегчить расчет, который такое оно позволило бы осуществить. Однако последнее высказывание относится уже не только к свойствам расслоения и его показателей, а скорее к методу расчета самого показателя расслоения.

Действительно, если речь идет о стране, состоящей из ряда районов, то для расчета меры неравенства в ней после уже сделанных расчетов коэффициентов расслоения в каждом районе необходимо знать функцию распределения F для всей страны, хотя она - смесь функций распределения F_i для каждого района i. Для этого следует передать из всех районов доходы всех людей, из совокупности которых получается функция F для всей страны. А можно ли ограничиться только “сжатой” информацией, например, о средних доходах в районах, самих мерах расслоения и еще о чем-либо? Примеры, показывающие такую возможность, имеются - это так называемые неразложимые смеси функций распределения и достаточные статистики для последних.

Свойство восстановления расслоения всего общества по смеси расслоений в его группах очевидно, поэтому очень полезно иметь и возможность пересчета функционалов (мер неравенства) от смеси по “сжатым” данным о коэффициентах расслоения в отдельных частях. Отсюда появляется следующее предположение о способе пересчета.

Условие 8 (разложимости). Функционал J(F) может считаться разложимым в том случае, когда он имеет вид J(F)=

[m(F_i)]J(F_i)+J(F₀), где p[m(F_i)] -весовая функция, зависящая от центров m(F_i) групп i, (i=

) и, кроме того, F_i-функции распределения доходов в группах, а F₀ - функция распределения центров групп, число которых m.

2. Показатели расслоения

Условие разложимости - это определение разложимого функционала J: функционал J называется разложимым, когда он, после подходящего монотонного преобразования, может быть представлена в виде уже приведенной суммы, где F₀ - смесь функций распределения F_i в группах. В этом определении сразу дано такое представление функции J, которое могло бы быть дано в два этапа, первый - определение разложимости как некоторой зависимости от функций распределения в группах и на их центрах, и второй - приведение к аддитивной зависимости после монотонного преобразования. Если далее определить показатель (или меру) расслоения (или неравенства) I как разложимый функционал J, удовлетворяющую условиям 1-7, то может быть доказана следующая теорема.

Теорема. Непрерывно дважды дифференцируемая разложимая мера расслоения удовлетворяет условиям передачи и однородности тогда и только тогда, кода она имеет вид

для некоторого a³0, где m(F) - центр распределения F, а w_a(x) - решение уравнения x(d²w(x)/dx²)+(1-a)(dw/dx)=b.

Если учесть, что решения w(x) дифференциального уравнения xw”+(1-a)w’=b и соответствующие им p(F_l) имеют вид

иp_a(F_l)=[l/m(F)]^a,

то общим видом показателя расслоения будет следующий

.

Смешивающая функция для дискретных величин F₀(l) в точке l=m(F_i) имеет скачёк величины l_i, для непрерывного случая аналогично.

Результат теоремы состоит, во-первых, в том, что мера расслоения не зависит от численности общества (или групп), а зависит лишь от функции распределения. Во-вторых, характеристических (существенных) свойств всего два - однородности и передачи.

Все остальные следуют из них. Таким образом, не было необходимости приводить и описывать все свойства расслоения, хотя они многое проясняют. Более того теорема показывает, что меру расслоения можно искать в виде

и функция w(x) связана с множеством решений уравнения xw”(x)+(1-a)w’(x)=b.

3. Частные показатели

Осталось привести лишь частные случаи. При a=0 имеем

I(F)=

,

при a=1 получается мера расслоения Тайла (Theil):

I(F)=

,

наконец, при a=2 имеем квадрат коэффициента вариации:

I(F)=

,

множители перед интегралом опущены в соответствии с определением разложимости.

Рассмотрим общество, заданное функцией распределения F, состоящее из m групп, каждая из которых определяется своей функцией распределения F_i(

). В этом случае F=

, где l_i³0, и Sl_i=1. Кроме того, чтобы F была функцией распределения всего общества необходимо представление распределения центров групп в виде F₀(x)=S_iH(x-x_i)l_i, где H(x) - функция Хевисайда, т.е. она равна 1 при x³0 и 0 в других случаях, а l_i=n_i/n и x_i=m(F_i).

Остается привести лишь разложения уже приведенных показателей расслоения.

Для первого показателя - логарифмической меры расслоения - имеем функцию w(x)=-ln[x/m(F)], которая дает название меры. Для нее весовая функция p имеет вид p[m(F_i)]=1. а показатель расслоения

I[m(F)]=

,

или, в более общем виде для распределения F(x)=

, где F(x/l)=F_i(x) при l=m(F_i),

.

Для меры неравенства Тейла функция w(x)=[x/m(F)]ln[x/m(F)], весовая функция p[m(F_l)]=[l/m(F)], поэтому,

Для квадрата коэффициента вариации функция w(x)=[x/m(F)]²-1, весовая функция p[m(F_l)]=[l/m(F)]² и

.

В самом общем виде для функции w(x)=[x/m(F)]^a-1 весовая функция p[m(F_l)] будет равна [l/m(F)]^a, а разложимый показатель расслоения для любого a имеет вид

.

Для того, чтобы убедиться в неотрицательности любого из приведенных показателей бедности следует проделать следующее. Во-первых, все представленные в показателях расслоения весовые функции w(x) выпуклы. Во-вторых, все функции распределения F_l таковы, что их средние значения равны единице. В-третьих, для выпуклых функций w справедливо неравенство Йенсена Ew(X)³w(EX). Теперь, применив неравенство Йенсена к весовой функции w[x/m(F)] получаем требуемый результат.